Teoria topològica quàntica de camp

Una teoria topològica quàntica de camp (TTCC), és una teoria quàntica de camps (TCC) que calcula invariantes topològics.

Encara que les TTCCs varen ser inventades pels físics, elles també són d'interés matemàtic, relacionat, entre atres coses, en la teoria de nucs i la teoria de tetra-varietats en topología algebraica i la teoria d'espai modular en geometria algebraica. S. Donaldson, V. Jones, E. Witten i M. Kontsevich, han guanyat la Medalla Fields pels seus treballs relacionats en la teoria de camps topològica.

En la física de matèria condensada, les teories topològiques quàntiques de camp són teories efectives de baixa energia, d'estats ordenats topològics, com a estats fraccionario d'Efecte Hall quàntic, ret-cadena condensada i atres estats líquits quàntics fortament correlacionados.

Resum

En una teoria de camp topològica, les funciones de correlació no depenen de la mètrica de l'espai-temps. Açò significa que la teoria no és sensible als canvis en la forma de l'espai-temps; si l'espai-temps es comba o contrau, no canvien les funcions de correlació. En conseqüència, són invariantes topològics.

Les teories de camp topològiques no són molt interessants en l'espai-temps pla de Minkowski usat en física de partícules. L'espai de Minkowski pot ser contret a un punt, aixina que una TTCC en l'espai de Minkowski calcula només invariantes topològics trivials. En conseqüència, Les TTCCs s'estudien per lo general en espai-temps curvos, com, per eixemple, superfícies de Riemann. La majoria de les teories de camp topològiques conegudes estan definides en espai-temps de dimensió inferior a cinc. Sembla que existixen algunes teories dimensionals superiors, pero no s'entenen molt be.

Es creu que la gravetat quàntica és independent del fondo (en algun sentit adequat) i TTCCs són eixemples de fondo de les teories de camp quàntic independent. Açò ha impulsat l'investigació teòrica d'esta classe de models.

(ADVERTENCIA: a sovint es diu que les TTCCs té finit graus de llibertat. Açò no és una propietat fonamental. Resulta ser cert en la majoria dels eixemples que els físics i matemàtics estudien, pero no és necessari. Un model sigma topològic en dimensió infinita espai proyectiva de destí, si tal cosa poguera definir-se, tindria infinit graus de llibertat).

Les teories de camp topològic conegudes cauen en dos classes generals: TTCCs tipo-Schwarz i TTCCs tipo-Witten. Les segones, també es referixen a voltes, com a teories de camp cohomológico.

TTCCs tipo-Schwarz

En TTCCs tipo-Schwarz, les funcions de correlació calculades per la ruta integral són invariantes topològics perque la mida integral de la ruta i els observables de camp quàntic són explícitament independents de la mètrica. Per eixemple, en el model BF, l'espai-temps és una varietat bidimensional M, les observables són construïdes des d'un formulari de dos-forma F, un auxiliar escalar B i els seus derivats. L'acció (que determina l'integral de camí) és

$S=\underset{M}{\int }BF$

La mètrica de l'espai-temps no apareix en esta teoria, per lo que la teoria és explícitament topológicamente invariante. Un atre eixemple més famós és la teoria de Chern-Simons, que pot utilisar-se per a calcular invariantes de nuc.

TTCCs tipo-Witten

En TTCCs tipo-Witten, la invarianza topològica és més sotil. Per eixemple el lagrangiano per al model depenen explícitament de la mètrica, pero una mostra de càlcul que el valor esperat de la funció de partició i una classe especial de funcions de correlació són en realitat un difeomorfismo invariante.

Formulació matemàtiques

Vore també

Topología quàntica Defecte topològic Entropía topològica en física Ordenació topològica Número quàntic topològic Teoria de grafos

Teoria de nucs Teoria de cordes Topología algebraica Topología geomètrica Mecànica quàntica Computació quàntica

Referències

• (1989).«Teories topològiques quàntiques de camps».Publications Mathématiques de l'IHÉS.68(68)

175–186.doi:10.1007/BF02698547.

• (1982).«Supersimetría i la teoria de Morse».J. Diff Geom..17

661–692.Consultat el 26 d'abril de 2015.

• (1988a).«Teoria topològica quàntica de camp».Communications in Mathematical Physics.117(3)

353–386.doi:10.1007/BF01223371.

• ^{[enllaç trencat]}
• (1988).«Nous invariantes de varietats en tres i quatre dimensions».Proc. Symp. Pure Math., 48, American Math. Soc..48

285–299.