Funció de correlació

Archiu:Ferro antiferro spatial corrs png.png

Funcions esquemàtiques de correlació d'espin en el mateix temps per a materials ferromagnéticos i antiferromagnéticos tant per damunt com per baix de

T_{Curie}

versus la distància normalisada per la llongitut de correlació,

ξ

. En tots els casos, les correlació són més fortes prop de l'orige, lo que indica que un espin té la major influència en els seus veïns més propencs. Totes les correlació decauen gradualment a mida que aumenta la distància des de l'espin en l'orige. Per damunt de la temperatura de Curie, la correlació entre els espin tendix a zero a mida que la distància entre els espin es fa molt gran. En contrast, baix de

T_{Curie}

, la correlació entre els espin no tendix a zero en grans distàncies, sino que decau a un nivell consistent en l'orde de llarc alcanç del sistema. La diferència en estos comportaments de descomposició, a on les correlació entre les variables aleatòries microscòpiques es tornen zero front a no zero a grans distàncies, és una forma de definir l'orde de curt determini front a llarc.

En física estadística, la funció de correlació és una mida de l'orde en un sistema, com es caracterisa per una funció de correlació matemàtica. Les funcions de correlació descriuen cóm es relacionen les variables microscòpiques, com el gir i la densitat, en diferents posicions. Més específicament, les funcions de correlació quantifiquen cóm les variables microscòpiques varien entre sí en promig en l'espai i el temps. Un eixemple clàssic de tals correlació espacials és en els materials ferro i antiferromagnéticos, a on els girs preferixen alinear-se en paralel i antiparalelo en els seus veïns més propencs, respectivament. La correlació espacial entre els espin en dits materials es mostra en la figura de la dreta.

Definicions

La definició més comuna d'una funció de correlació és el promig de conjunt canònic (tèrmic) del producte escalar de dos variables aleatòries, $s_{1}$ i $s_{2}$ , en les posicions $R$ i $R + r$ i els temps $t$ i $t + τ$ :

$C (r, τ) = ⟨ 𝐬_{𝟏} (R, t) \cdot 𝐬_{𝟐} (R + r, t + τ) ⟩ - ⟨ 𝐬_{𝟏} (R, t) ⟩ ⟨ 𝐬_{𝟐} (R + r, t + τ) ⟩ .$

Ací els paréntesis, $⟨ ... ⟩$ , indiquen el promig tèrmic mencionat anteriorment. És una qüestió de convenció si un resta el producte promig no correlacionado de $s_{1}$ i $s_{2}$ , $⟨ 𝐬_{𝟏} (R, t) ⟩ ⟨ 𝐬_{𝟐} (R + r, t + τ) ⟩$ del producte correlacionado, $⟨ 𝐬_{𝟏} (R, t) \cdot 𝐬_{𝟐} (R + r, t + τ) ⟩$ , en la convenció que diferix entre els camps. Els usos més comuns de les funcions de correlació són quan $s_{1}$ i $s_{2}$ descriuen la mateixa variable, com una funció de correlació spin-spin o una funció de correlació posició-posició de partícula en un líquit elemental o sòlit (a sovint denominat funció de distribució radial o funció de correlació de parells). Les funcions de correlació entre la mateixa variable aleatòria són funcions de autocorrelación. No obstant, en la física estadística, no totes les funcions de correlació són funcions de autocorrelación. Per eixemple, en les fases condensadas de varis components, la funció de correlació de parells entre diferents elements és a sovint d'interés. Dites funcions de correlació de parells d'elements mixts són un eixemple de funcions de correlació creuada, ya que les variables aleatòries $s_{1}$ i $s_{2}$ representen les variacions promig en densitat com una funció de la posició per a dos funcions de distints elements.

Funcions de correlació d'equilibri de temps (espacial)

A sovint, a un li interessa únicament l'influència espacial d'una variable aleatòria donada, digam la direcció d'un gir, en el seu entorn local, sense considerar els temps posteriors, $τ$ . En este cas, descuidem l'evolució temporal del sistema, per lo que la definició anterior es torna a escriure en $τ = 0$ . Açò definix la funció de correlació de temps igual, $C (r, 0)$ . Està escrit com:

$C (r, 0) = ⟨ 𝐬_{𝟏} (R, t) \cdot 𝐬_{𝟐} (R + r, t) ⟩ - ⟨ 𝐬_{𝟏} (R, t) ⟩ ⟨ 𝐬_{𝟐} (R + r, t) ⟩ .$

A sovint, s'omet el temps de referència, $t$ , i el radi de referència, $R$ , en assumir l'equilibri (i, per lo tant, la invariancia de temps del conjunt) i promediar totes les posicions de la mostra, donant com a resultat:

$C (r) = ⟨ 𝐬_{𝟏} (0) \cdot 𝐬_{𝟐} (r) ⟩ - ⟨ 𝐬_{𝟏} (0) ⟩ ⟨ 𝐬_{𝟐} (r) ⟩ .$

a on, novament, l'elecció de si restar les variables no correlacionadas diferix entre els camps. La funció de distribució radial és un eixemple d'una funció de correlació de temps igual a on la referència no correlacionada generalment no es resta. En esta pàgina es mostren atres funcions de correlació de gir i gir d'igual temps per a una varietat de materials i condicions.

Funcions de correlació d'equilibri de posició igual (temporal)

També podria interessar-se l'evolució temporal de les variables microscòpiques. En atres paraules, cóm el valor d'una variable microscòpica en una posició i temps donats, $R$ i $t$ , influïx en el valor de la mateixa variable microscòpica en un moment posterior, $t + τ$ (i usualment en la mateixa posició). Dites correlació temporals es quantifiquen a través de funcions de correlació d'igual posició, $C (0, τ)$ . Es definixen de manera anàloga a les funcions de correlació superiors al mateix temps, pero ara descuidem les dependències espacials establint $r = 0$ , lo que produïx:

Assumir l'equilibri (i, per lo tant, la invariancia de temps del conjunt) i promediar tots els llocs en la mostra dona una expressió més simple per a la funció de correlació d'igual posició que per a la funció de correlació d'igual temps:

$C (τ) = ⟨ 𝐬_{𝟏} (0) \cdot 𝐬_{𝟐} (τ) ⟩ - ⟨ 𝐬_{𝟏} (0) ⟩ ⟨ 𝐬_{𝟐} (τ) ⟩ .$

La suposició anterior pot semblar no intuïtiva al principi: ¿cóm pot un conjunt que és invariante en el temps tindre una funció de correlació temporal no uniforme? Les correlació temporals seguixen sent rellevants per a parlar en sistemes d'equilibri perque un conjunt macroscòpic invariante en el temps encara pot tindre una dinàmica temporal no trivial al microscopi. Un eixemple està en la difusió. Un sistema monofásico en equilibri té una composició macroscòpica homogénea. No obstant, si un observa el moviment microscòpic de cada àtom, les fluctuacions en la composició ocorren constantment pels recorreguts cuasialeatorios presos pels àtoms individuals. La física estadística li permet a un fer declaracions reveladores sobre el comportament temporal de tals fluctuacions dels sistemes d'equilibri. Açò es discutix a continuació en la secció sobre l'evolució temporal de les funcions de correlació i l'hipòtesis de regressió de Onsager.

Generalisació més allà de les funcions de correlació d'equilibri

Totes les funcions de correlació anteriors s'han definit en el context de la física estadística de l'equilibri. No obstant, és possible definir funcions de correlació per a sistemes alluntats de l'equilibri. En examinar la definició general de $C (r, τ)$ , està clar que es poden definir les variables aleatòries utilisades en estes funcions de correlació, com les posicions atòmiques i els girs, llunt de l'equilibri. Com a tal, el seu producte escalar està ben definit llunt de l'equilibri. L'operació que ya no està ben definida fòra de l'equilibri és el promig sobre el conjunt d'equilibri. Este procés de promediación per al sistema de no equilibri generalment es reemplaça al promediar el producte escalar en tota la mostra. Açò és típic en experiments de dispersió i simulacions per computadora, i s'usa a sovint per a medir les funcions de distribució radial dels lents.

També es poden definir promijos sobre estats per a sistemes pertorbats llaugerament des de l'equilibri. Vore, per eixemple,http://xbeams.chem.yale.edu/batista/vaa/node56.html

Archivat el 25 de decembre de 2018 archivat en Wayback Machine.

Medició de les funcions de correlació

Les funcions de correlació es medixen típicament en experiments de dispersió. Per eixemple, els experiments de dispersió de rajos X medixen directament les correlació d'igual temps electró-electró.^[1] A partir del coneiximent dels factors d'estructura elemental, també es poden medir les funcions de correlació de parells elementals. Les funcions de correlació d'espin a espin en el mateix temps es medixen en dispersió de neutrons en lloc de dispersió de rajos x. La dispersió de neutrons també pot proporcionar informació sobre les correlació de parells. Per a sistemes composts de partícules de més d'aproximadament un micrómetro, la microscopía òptica es pot usar per a medir les funcions de correlació d'igual temps i d'igual posició. La microscopía òptica és, per lo tant, comuna per a les suspensions coloidales, especialment en dos dimensions.

Referències

↑ Sethna, James P. (2006). «Chapter 10: Correlations, response, and dissipation», Statistical Mechanics: Entropy, Order Parameters, and Complexity, Oxford University Press. ISBN 0198566778.

Este artícul conté una traducció derivada de «Función de correlación» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[Sethna-1] Sethna, James P. (2006). «Chapter 10: Correlations, response, and dissipation», Statistical Mechanics: Entropy, Order Parameters, and Complexity, Oxford University Press. ISBN 0198566778.

[1]