Quadratura (geometria)
En matemàtiques, la quadratura és un terme històric en el que es denomina la determinació de el àrea d'una figura. Les qüestions de quadratura varen ser una de les fonts principals de problemes que varen impulsar el desenroll de el càlcul, i varen servir per a introduir temes importants en el anàlisis matemàtic.
Història
[editar | editar còdic]
Els matemàtics de la Grècia antiga, segons la doctrina pitagórico, varen entendre la determinació de l'àrea d'una figura com el procés de construir geomètricament un quadrat en la mateixa àrea (quadrant), d'ahí el nom de quadratura per a este procés. Els geómetras grecs no sempre varen tindre èxit (vore el problema de la quadratura del círcul), pero varen ser capaços de portar a terme quadratura d'algunes figures els costats de les quals no són senzillament segments rectes, com les lúnula de Hipócrates i la quadratura de la paràbola. Seguint la tradició grega, estes construccions tenien que ser realisades utilisant únicament regla i compàs.
Per a la quadratura d'un rectàngul en costats a i b és necessari construir un quadrat de costat (la mija geomètrica de a i b). Per a este propòsit és possible utilisar el procediment següent: si es dibuixa un círcul que el seu diàmetro siga la suma de dos segments de llongituts a i b, llavors l'altura (BH en l'esquema) del segment de llínea traçat perpendicular al diàmetro des del punt de conexió dels segments al punt a on creua el círcul, equival a la mija geomètrica de a i b. Una construcció geomètrica similar soluciona els problemes de quadratura d'un paralelogramo i d'un triàngul.
Els problemes de quadratura de figures curvilíneas són molt més difícils. L'impossibilitat de la quadratura del círcul en compàs i regla es va provar en el XIX. No obstant, per a algunes figures (com per eixemple, les lúnula de Hipócrates) pot construir-se la seua quadratura. Les quadratura de la superfície d'una esfera i d'un segment de paràbola descobertes per Arquímedes es consideren dos dels majors guanys de l'anàlisis en l'antiguetat.
- L'àrea de la superfície d'una esfera és igual a quatre voltes l'àrea de la seua círcul màxim.
- L'àrea d'un segment d'una paràbola determinada per una llínea recta que la curta és 4/3 l'àrea d'un triàngul inscrit en este segment.
Per a la prova d'estos resultats, Arquímedes va utilisar el método de exhaustación[1]<span title="Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «DecodeEncode».">: Plantilla:R/where d'Eudoxo.
En l'Europa medieval, la quadratura va passar a ser el càlcul d'un àrea per qualsevol método. Molt a sovint es va utilisar el método dels indivisibles. Menys rigorós que les construccions geomètriques dels grecs, no obstant era un procediment més senzill i més potent. En la seua ajuda, Galileo Galilei i Gilles de Roberval varen trobar l'àrea d'un arc de cicloide; Grégoire de Saint-Vincent va investigar l'àrea baixe una hipérbola (Opus Geometricum, 1647); i Alfonso Antonio de Sarasa, alumne i comentariste de Saint Vincent, va deduir la relació d'esta àrea en els logaritmos.[2]<span title="Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «DecodeEncode».">: Plantilla:R/where <span title="Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «DecodeEncode».">: Plantilla:R/where
John Wallis va dotar a este método de rigor algebraic. Aixina, en el seu Arithmetica Infinitorum (1656) va analisar algunes séries equivalents a lo que ara es denominen integrals definides, i va calcular els seus valors. Isaac Barrow i James Gregory varen conseguir majors progressos: varen determinar les quadratura d'algunes curves algebraiques i espiralés. Christiaan Huygens per la seua banda va conseguir determinar la quadratura de l'àrea de les superfícies d'alguns sòlits de revolució.
La quadratura de l'hipérbola per obra de Saint-Vincent i de Sarasa va proporcionar una funció nova, el logaritmo natural, de transcendental importància. En l'invenció de el càlcul integral es va idear un método universal per al càlcul d'àrees, i actualment usa integral per a designar a la determinació d'un àrea. No obstant, a les solucions a equacions diferencials també se'ls crida integrals, aixina que quadratura seguix sent útil per a distinguir les integrals de les solucions d'equacions diferencials en contexts en els que apareixen abdós. També s'usa el terme resolució per quadratura[3] per a referir-se a solucions d'equacions diferencials en térmens d'integrals.
Vore també
[editar | editar còdic]Referències
[editar | editar còdic]- ↑ Katz, Victor J. (1998). A History of Mathematics: An Introduction, 2nd edició, Addison Wesley Longman. ISBN 0321016181.
- ↑ Enrique A. Gonzales-Velasco (2011) Journey through Mathematics, § 2.4 Hyperbolic Logarithms, page 117
- ↑ Perea Covarrubias (2024-10). «3.10.2.», Fonaments i aplicacions de Mecànica Teòrica, p. 148.
Bibliografia
[editar | editar còdic]- Boyer, C. B. (1989) A History of Mathematics, 2nd ed. rev. by Uta C. Merzbach. New York: Wiley, ISBN 0-471-09763-2 (1991 pbk ed. ISBN 0-471-54397-7).
- Eves, Howard (1990) An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, ISBN 0-03-029558-0,
- Christiaan Huygens (1651) Theoremata de Quadratura Hyperboles, Ellipsis et Circuli
- Jean-Etienne Montucla (1873) History of the Quadrature of the Circle, J. Babin translator, William Alexander Myers editor, link from HathiTrust.
- Christoph Scriba (1983) "Gregory's Converging Double Sequence: a new look at the controversy between Huygens and Gregory over the 'analytical' quadrature of the circle", Història Mathematica 10:274–85.
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Cuadratura (geometría)» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.