La quadratura de la paràbola

La quadratura de la paràbola

Segment parabòlic.

La quadratura de la paràbola (en grec: Τετραγωνισμὸς παραβολῆς) és un tractat sobre geometria, escrit per Arquímedes en el III en forma de carta al seu amic Dositeo. Presenta 24 proposicions sobre les paràboles, culminant en la demostració de que l'àrea d'un segment parabòlic (la regió tancada per una paràbola i una llínea recta) és 4/3 de la del triàngul inscrit.

L'enunciat del problema utilisa el método exhaustiu. Arquímedes va disseccionant l'àrea en triànguls cada volta més menuts de tal manera que les seues àrees van formant una progressió geomètrica. Va calcular la suma de la série geomètrica resultant i va demostrar que esta era l'àrea del segment parabòlic. La quadratura de la paràbola va representar l'us més sofisticat del método exhaustiu o d'agotament en les matemàtiques antigues, i no va ser superada fins al desenroll del càlcul integral en el XVII, sent succeït per la fòrmula de quadratura de Cavalieri.

Teorema principal

Arquímedes dibuixa un triàngul inscrit per al segment parabòlic dau.

Un segment parabòlic és l'àrea interior llimitada per la paràbola i una llínea. Per a trobar l'àrea d'un segment parabòlic, Arquímedes considera cert triàngul inscrit. La base d'este triàngul és la cuerdo donada de la paràbola, i el tercer vèrtiç és el punt de la paràbola tal que la tangente a la paràbola en eixe punt és paralela a la corda. Per la Proposició 1 (Quadratura de la paràbola), una llínea paralela a l'eix de la paràbola traçada des del tercer vèrtiç la corda donada en dos segments iguals d. La teorema principal afirma que l'àrea del segment parabòlic és 4/3 de la del triàngul inscrit.

Estructura del text

Arquímedes oferix dos demostracions de la teorema principal. El primer utilisa una abstracció mecànica. Arquímedes argumenta que el pes del segment equilibra el pes del triàngul quan este se situa en el lloc apropiat. El segon, més conegut, utilisa solament el raonament geomètric, en concret el método exhaustiu.

Dels 24 enunciats, els tres primers són citats sense demostrar-los a partir dels Elements de Còniques, d'Euclides (una obra perduda de Euclides sobre seccions còniques). Els enunciats quarto i quint establixen propietats elementals de la paràbola; del sext al desseté oferixen demostracions mecàniques de la teorema principal; i del dihuité al vigesimocuarto donen demostracions geomètriques.