Mecànica quàntica supersimétrica

En física teòrica, la mecànica quàntica supersimétrica és un àrea d'investigació a on s'apliquen els conceptes matemàtics de física d'altes energies en el camp de la mecànica quàntica.

Introducció

El comprendre les conseqüències de la supersimetría ha demostrat ser matemàticament desalentador, i aixina mateix, ha segut difícil desenrollar teories que pogueren donar conte de la ruptura espontànea de simetria, és dir, la falta d'observació de partículas parella de massa igual. Per a alvançar sobre estos problemes, els físics varen desenrollar la Mecànica Quàntica supersimétrica, una aplicació d'àlgebra supersimétrica (SUSY) a la Mecànica Quàntica en contraposició a la teoria quàntica de camps. S'esperava que estudiar les conseqüències de SUSY en esta configuració més simple, duria a nova comprensió; notablement, l'esforç va crear en sí mateixa, noves àrees d'investigació en Mecànica Quàntica .

Per eixemple, a partir de 2004, es va començar a ensenyar als estudiants a "resoldre" l'àtom d'hidrogen per mig d'un procés laboriós que comença introduint el potencial de Coulomb en l'equació de Schrödinger. Despuix d'una cantitat de treball considerable, en moltes equacions diferencials, l'anàlisis produïx una relació recursiva per als polinomis de Laguerre. El resultat final, és l'espectre de l'àtom d'hidrogen dels estats d'energia (en l'etiqueta dels números quàntics n i l). Usant les idees extretes de SUSY, el resultat final es pot derivar en molta major facilitat, en la major part, de la mateixa manera que els métodos d'operador que s'utilisen per a resoldre l'oscilador harmònic. Curiosament, este enfocament és anàlec a la forma en la que Erwin Schrödinger va resoldre per primera volta l'àtom d'hidrogen. Per supost, ell no va cridar a la seua solució supersimétrica, puix SUSY apareixeria trenta anys en el futur, pero encara és notable que l'enfocament de SUSY, tant major i més elegant, s'ensenye a tan pocs en les universitats.

La solució SUSY a l'àtom d'hidrogen, és només un eixemple de la classe molt general de les solucions que oferix als potencials de forma invariantes, una categoria que inclou la majoria dels potencials que s'ensenyen en els cursos introductoris de mecànica quàntica.

La Mecànica Quàntica SUSY, consistix en parells d'Hamiltonianos que compartixen una relació particular matemàtica, que són cridats Hamiltonianos parella. (Els térmens d'energia potencial que es produïxen en els Hamiltonianos després se'ls crida potencials socis.) Un teorema d'introducció, mostra que per cada estat propi d'un Hamiltoniano, el seu companyer Hamiltoniano té un estat propi que correspon a la mateixa energia (en la possible excepció d'estats propis d'energia zero). Este fet, pot ser aprofitat per a deduir moltes de les propietats de l'espectre d'estat propi. És anàlec a la descripció original de SUSY, que es referix als bosonés i fermionés. Podem imaginar un "Hamiltoniano bosónico", els estats propis del qual són els bosones diversos de la nostra teoria. El soci de SUSY d'este Hamiltoniano seria "fermiónico", i els seus autoestados serien fermiones de la teoria. Cada bosón podria tindre un companyer fermiónico d'igual energia, pero, en el món relativista, l'energia i la massa són intercanviables, aixina que podem dir en la mateixa facilitat que les partícules associades tenen la mateixa massa.

Els conceptes en SUSY, han proporcionat útils extensions per a l'aproximació WKB. Ademés, SUSY s'ha aplicat a problemes de mecànica estadística no quàntica, a través de l'equació de Fokker-Planck, que mostra que inclús si l'inspiració original de la física de partícules d'alta energia resultara ser un atzucac, la seua investigació hauria donat lloc ya, a molts beneficis.

El superálgebra en Mecànica Quàntica SUSY

En la Mecànica Quàntica fonamental, nos enterem de que un àlgebra d'operadors es definix per les relacions de conmutación entre ells. Per eixemple, els operadors canònics de posició i el moment tenen el commutador $[x,p]=i$ (Ací, nosatres usem "unitats naturals" que s'establix la constant de Planck igual a 1.) Un cas més complicat és l'àlgebra dels operadors del moment angular, estes cantitats estan estretament relacionades en les simetria de rotació d'un espai tridimensional. Per a generalisar este concepte, es definix un anticonmutador, que es referix als operadors la mateixa manera que un commutador comú, pero en el signe opost:

$\{A,B\}=AB+BA.$

Si els operadors estan relacionats per anticonmutadores aixina com commutadors, diem que són part d'un superalgebra de Lie. Digam que tenim un sistema quàntic descrit per un Hamiltoniano $\mathscr{H}$ i un conjunt de N operadors autoadjuntos $Q_i$.. Anem a cridar a este sistema supersimétrico si la relació anticonmutación següent és vàlida per a tota $i,j=1,\dots ,N$:

$\{Q_i,Q_j^{†}\}=\mathscr{H}{\delta }_{ij}.$

Si este és el cas, cridem a $Q_i$ supercargas del sistema.

Eixemple

Vejam l'eixemple d'una partícula unidimensional en graus interns de llibertat 2D (és dir, "dos estats") cridada "espin" (no és realment gir perque l'espin "real" és una propietat de partícules 3D). Siga $b$ un operador que transforma una partícula de "espin cap a dalt" en una partícula de "espin cap a avall". El seu adjunt $b^{†}$ transforma una partícula de "espin cap a avall" en una partícula de "espin cap a dalt", els operadors es normalisen de manera que el anticonmutador $\{b,b^{†}\}=1$. I, per supost, $b^2=0$. Siga $p$ l'impuls de la partícula i siga $x$ la seua posició en $[x,p]=i$. Siga W (el "superpotential") una funció analítica complexa arbitrària de $x$ i definixca els operadors supersimétricos

$Q_1=\frac{1}{2}[(p-iW)b+(p+i{W}^{†})b^{†}]$

$Q_2=\frac{i}{2}[(p-iW)b-(p+i{W}^{†})b^{†}]$

Tinga en conte que $Q_1$ i $Q_2$ són autoadjuntos. Siga el Hamiltoniano

$H=\{Q_1,Q_1\}=\{Q_2,Q_2\}=\frac{(p+\mathrm{\Im }\{W\}{)}^2}{2}+\frac{{\mathrm{\Re }\{W\}}^2}{2}+\frac{\mathrm{\Re }\{W{\}}^{\prime }}{2}(b{b}^{†}-b^{†}b)$

a on w' és la derivada de W. També tinga en conte que $\{Q_1,Q_2\}=0$. Açò no és una atra cosa que supersimetría N = 2. Tinga en consideració que $\mathrm{\Im }\{W\}$ actua com un vector potencial electromagnètic.

També anem a cridar a el "espin cap a avall" "estat bosónico" i a el "espin cap a dalt" "estat fermiónico". Açò és només en analogia en la teoria quàntica de camps i no deu ser pres lliteralment. Llavors, $Q_1$ i $Q_2$ mapean els estats "bosónicos" en "fermiónicos", i viceversa.

Anem a reformular açò una miqueta:

Definixca

$Q=(p-iW)b$

i per supost,

$Q^{†}=(p+i{W}^{†})b^{†}$

$\{Q,Q\}=\{Q^{†},Q^{†}\}=0$

i

$\{Q^{†},Q\}=2H$

Un operador és "bosónico" si este mapea "estats bosónicos" a "estats bosónicos" i "estats fermiónicos" a "estats fermiónicos". Un operador és "fermiónico" si mapea "estats bosónicos" als "estats fermiónicos", i viceversa. Qualsevol operador pot expressar-se de manera única com la suma d'un operador bosónico i un operador fermiónico. Definixca el superconmutador [,} de la següent manera: entre dos operadors bosónicos o un bosónico i un fermiónico, no és un atre que el commutador entre dos operadors fermiónicos, açò és un anticonmutador.

Llavors, $x$ i$p$ són operadors bosónicos i $b$, $b^{†}$, $Q$ i $Q^{†}$, són operadors fermiónicos.

Anem a treballar en l'interpretació de Heisenberg a on $x$,$b^{†}$ i $b^{†}$ són funcions del temps.

A continuació,

$[Q,x\}=-ib$

$[Q,b\}=0$

$[Q,b^{†}\}=\frac{dx}{dt}-i\mathrm{\Re }\{W\}$

$[Q^{†},x\}=i{b}^{†}$

$[Q^{†},b\}=\frac{dx}{dt}+i\mathrm{\Re }\{W\}$

$[Q^{†},b^{†}\}=0$

Açò no és llineal en general: és dir, de partida, $b(t)$ i $b^{†}(t)$ no formen una representació llineal de SUSY perque $\mathrm{\Re }\{W\}$ no és necessàriament llineal en $x$. Per a evitar este problema, es definix l'operador autoadjunto $F=\mathrm{\Re }\{W\}$. A continuació,

$[Q,x\}=-ib,$

$[Q,b\}=0$

$[Q,b^{†}\}=\frac{dx}{dt}-iF$

$[Q,F\}=-\frac{db}{dt}$

$[Q^{†},x\}=i{b}^{†}$

$[Q^{†},b\}=\frac{dx}{dt}+iF$

$[Q^{†},b^{†}\}=0$

$[Q^{†},F\}=\frac{d{b}^{†}}{dt}$

i veem que es té una representació llineal de SUSY.

Ara anem a introduir dos cantitats "formals", $\theta$; i $\overline{\theta }$ en este sent l'adjunt de l'antiga tal que

$\{\theta ,\theta \}=\{\overline{\theta },\overline{\theta }\}=\{\overline{\theta },\theta \}=0$

i abdós commuten en operadors bosónicos pero anticonmutan en els fermiónicos.

A continuació, definim un constructor cridat un "supercampo":

$f(t,\overline{\theta },\theta )=x(t)-i\theta b(t)-i\overline{\theta }{b}^{†}(t)+\overline{\theta }\theta F(t)$

"$f$" és autoadjunto, per supost. A continuació,

$[Q,f\}=\frac{\partial }{\partial \theta }f-i\overline{\theta }\frac{\partial }{\partial t}f,$

$[Q^{†},f\}=\frac{\partial }{\partial \overline{\theta }}f-i\theta \frac{\partial }{\partial t}f.$

Per cert, també hi ha una simetria O(1)_r, en $p$, $x$ i $w$ tenint zero R-carregues, $b^{†}$ tenint una càrrega de R-1 i $b$ tenint una càrrega de R-1.

Vore també

• Àlgebra supersimétrica
• Superálgebra

Referències

^{[enllaç trencat]}