Image d'evolució temporal

En mecànica quàntica, existixen diverses formes de presentar les equacions de moviment d'un sistema. En la image de Schrödinger l'evolució temporal del mateix afecta al estat quàntic que ho representa. És la manera «estàndar» d'introduir les equacions de la mecànica quàntica. Pel contrari, en la image de Heisenberg dita evolució afecta únicament als operadors que representen les cantitats observables. Per mig d'esta image es poden analisar les similituts entre les equacions de moviment clàssiques i quàntiques. La image d'interacció (també de Dirac o de Dyson) és un enfocament intermig entre els dos anteriors, utilisat en teoria de destorbament. Les prediccions físiques de la mecànica quàntica no depenen de l'image que s'utilise.

Image de Schrödinger

L'image de Schrödinger es correspon en la formulació estàndar de l'equació de Schrödinger. Esta dicta que l'estat d'un sistema, representat per un ket |ψ⟩, canvia a mida que transcorre el temps i que la seua evolució està dictada per l'equació diferencial:

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}|\psi (t)⟩=H(t)|\psi (t)⟩,$

a on H(t) és l'operador hamiltoniano, relacionat en l'energia de dit sistema, i la forma del qual pot dependre explícitament del temps. Esta equació només és vàlida per a un sistema aïllat en el que no s'efectua cap mida.

L'equació de Schrödinger és llineal, per lo que l'evolució temporal es correspon en l'acció d'un cert operador d'evolució temporal O(t,t₀):

$|\psi (t)⟩=U(t,t_0)|\psi (t_0)⟩,$

el qual obedix una versió de l'equació de Schrödinger «per a operadors»:

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}U(t,t_0)=H(t)U(t,t_0)$

Image de Heisenberg

L'image de Heisenberg és una manera distinta de presentar l'evolució d'un sistema quàntic, en la que esta es reflectix únicament en els operadors. Una cantitat observable està representada per un operador que pot dependre explícitament del temps, O(t). El seu valor esperat en un cert instant és:

(1) $⟨O⟩(t)=⟨{\psi }^{\mathrm{S}}(t)|O^{\mathrm{S}}(t)|{\psi }^{\mathrm{S}}(t)⟩=⟨\psi (t_0)|U(t,t_0{)}^{-1}{O}^{\mathrm{S}}(t)U(t,t_0)|\psi (t_0)⟩=⟨{\psi }^{\mathrm{H}}|O^{\mathrm{H}}(t)|{\psi }^{\mathrm{H}}⟩$

Els superíndexs «S» i «H» indiquen que es tracta de l'image de Schrödinger o de Heisenberg. L'expressió (1) mostra que el valor esperat d'un observable en l'instant t és idèntic al que s'obtindria utilisant un estat que no canvia en el temps, |ψ^H⟩ = |ψ^S(t₀)⟩; i un operador O^H(t) que arreplegue l'evolució del sistema:

$O^{\mathrm{H}}(t)=U(t,t_0{)}^{-1}\cdot O^{\mathrm{S}}(t)\cdot U(t,t_0)$

En l'image de Heisenberg l'estat del sistema és una condició inicial |ψ^H⟩, que basta per a analisar-ho en qualsevol atre instant. Canviar de la representació de Schrödinger a la de Heisenberg requerix una elecció de l'instant t₀ en el que s'especifiquen estes condicions inicials.

L'image de Heisenberg guarda certa similitut en la mecànica clàssica. La dependència en el temps dels operadors està descrita per la equació de Heisenberg, que és la contrapartida de l'equació de Schrödinger:

$\frac{d}{dt}{O}^{\mathrm{H}}(t)=\frac{i}{\hslash }[H^{\mathrm{H}}(t),O^{\mathrm{H}}(t)]$

Esta equació és completament anàloga a l'equació hamiltoniana d'un observable clàssic f expressada per mig de corchetes de Poisson:

$\frac{df}{dt}=\{\mathscr{H}(t),f\}+\frac{\partial f}{\partial t}$

Referències

• Cohen-Tannoudji; Diu, {{{nom2}}}; Laloe, {{{nom3}}} (1991). Quàntum Mechanics (en anglés), Wiley-Interscience. ISBN 0-471-16433-X. Capítul G_III.