Funció sublineal

En àlgebra llineal, una funció sublineal (o funcional, com s'usa més a sovint en anàlisis funcional), també cridada cuasi-seminorma o funcional de Banach, en un espai vectorial $X$ és una funció en valor real en solament algunes de les propietats d'una seminorma. A diferència de les seminormas, una funció sublineal no té que tindre un valor en signe, i tampoc té per qué ser homogénea. Les seminormas són en sí mateixes abstracció de la noció més coneguda de norma, a on una seminorma té totes les propietats definitorias d'una norma, que no és necessari assignar vectores distints de zero a valors distints de zero.

En anàlisis funcional a voltes s'utilisa el nom de funcional de Banach, lo que reflectix que s'utilisa en major freqüència quan s'aplica la formulació general del teorema de Hahn–Banach. La noció de funció sublineal va ser introduïda per Stefan Banach quan va demostrar la seua versió del teorema de Hahn–Banach.

També s'ampra una noció diferent en ciències de la computació (que es descriu més alvance), que també es coneix en el nom de "funció sublineal".

Definicions

Siga $X$ un espai vectorial sobre un cos $𝕂,$ a on $𝕂$ és el conjunt dels número real $ℝ$ o el conjunt dels número complejo $ℂ.$ Una funció de valor real $p:X\to ℝ$ en $X$ es diu ' (o ' si és $𝕂=ℝ$), i a voltes també es diu ' o ', si té estes dos propietats:

1. Homogeneïtat positiva'/Homogeneïtat no negativa: $p(rx)=rp(x)$ per a tots els $r\ge 0$ reals i tots els $x\in X.$
   • Esta condició es complix si i solament si $p(rx)\le rp(x)$ para tot $r>0$ real positiu i tot $x\in X.$
2. Subaditividad/Desigualtat triangular: $p(x+y)\le p(x)+p(y)$ per a tots els $x,y\in X.$
   • Esta condició de subaditividad requerix que $p$ tinga un valor real.

Una funció $p:X\to ℝ$ es diu o si $p(x)\ge 0$ per a tots els $x\in X$, encara que alguns autors definixen positiu en el sentit de que $p(x)\ne 0$ sempre que $x\ne 0$. Estes definicions no són equivalents. És una si $p(-x)=p(x)$ per a tots els $x\in X.$ Tota funció simètrica subaditiva és necessàriament no negativa. Una funció sublineal en un espai vectorial real és simètrica si i solament si és una seminorma. Una funció sublineal en un espai vectorial real o complex és una seminorma si i solament si és equilibrada o, de manera equivalent, si i solament si $p(ux)\le p(x)$ per a cada escalar de llongitut unitat $u$ (que satisfà $|u|=1$) i cada $x\in X.$

El conjunt de totes les funcions sublineales en $X,$ denotat per $X^{\mathrm{\#}},$ pot ser parcialment ordenat declarant que $p\le q$ si i solament si $p(x)\le q(x)$ para tot $x\in X.$ Una funció sublineal es diu ' si és un element mínim de $X^{\mathrm{\#}}$ baix este orde. Una funció sublineal és mínima si i solament si és una funcional llineal real.

Eixemples i condicions suficients

Cada norma, seminorma i funcional llineal real és una funció sublineal. La funció identitat $ℝ\to ℝ$ en $X:=ℝ$ és un eixemple de funció sublineal (de fet, és inclús una funcional llineal) que no és ni positiva ni seminorma; lo mateixa ocorre en la negació d'esta aplicació $x\mapsto -x.$ De manera més general, per a qualsevol $a\le b,$ real, l'aplicació

$\begin{array}{cccccc}{S}_{a,b}:& & ℝ& & \to & ℝ\\ & & x& & \mapsto & \{\begin{array}{cc}ax& \text{ si }x\le 0\\ bx& \text{ si }x\ge 0\end{array}\\ \end{array}$

és una funció sublineal en $X:=ℝ$ i ademés, tota funció sublineal $p:ℝ\to ℝ$ té esta forma. Específicament, si $a:=-p(-1)$ i $b:=p(1)$, llavors $a\le b$ i $p=S_{a,b}$.

Si $p$ i $q$ són funcions sublineales en un espai vectorial real $X$, llavors també ho és l'aplicació $x\mapsto \max \{p(x),q(x)\}$. Més generalment, si $𝒫$ és qualsevol colecció no buida de funcionals sublineales en un espai vectorial real $X$, i si para tot $x\in X$, $q(x):=\sup \{p(x):p\in 𝒫\}$, llavors $q$ és un funcional sublineal en $X.$

Una funció $p:X\to ℝ$ que és subaditiva, convexa i que satisfà que $p(0)\le 0$, també és positivament homogénea (l'última condició $p(0)\le 0$ és necessària com a mostra l'eixemple de $p(x):=\sqrt{x^2+1}$ en $X:=ℝ$). Si $p$ és positivament homogéneu, és convexo si i solament si és subaditivo. Per lo tant, suponent que $p(0)\le 0$, dos propietats qualssevol entre subaditividad, convexidad i homogeneïtat positiva impliquen la tercera.

Propietats

Cada funció sublineal és una funció convexa: per a $0\le t\le 1,$

$\begin{array}{cccc}p(tx+(1-t)y)& \le p(tx)+p((1-t)y)& & \text{ subaditividad }\\ & =tp(x)+(1-t)p(y)& & \text{ homogeneidad no negativa }\\ \end{array}$

Si $p:X\to ℝ$ és una funció sublineal en un espai vectorial $X$, llavors

$p(0)=0\le p(x)+p(-x)$

per a cada $x\in X$, lo que implica que a lo manco un dels valors de $p(x)$ i $p(-x)$ deu ser no negatiu, és dir, per cada $x\in X,$ $$0\le \max \{p(x),p(-x)\}.$$ Ademés, quan $p:X\to ℝ$ és una funció sublineal en un espai vectorial real, llavors l'aplicació $q:X\to ℝ$ definida per $q(x)\stackrel{\text{ def }}{=}\max \{p(x),p(-x)\}$ és una seminorma.

La subaditividad de $p:X\to ℝ$ garantisa que para tots els vectores $x,y\in X,$

$p(x)-p(y)\le p(x-y),$

$-p(x)\le p(-x),$

llavors, si $p$ també és simètrica, llavors la desigualtat triangular es mantindrà per a tots els vectores $x,y\in X,$

$|p(x)-p(y)|\le p(x-y).$

Definir $\ker p\stackrel{\text{ def }}{=}{p}^{-1}(0),$ i després la subaditividad també garantisa que para tots els $x\in X,$ el valor de $p$ en el conjunt $x+(\ker p\cap -\ker p)=\{x+k:p(k)=0=p(-k)\}$ siga constant i igual a $p(x)$. En particular, si $\ker p=p^{-1}(0)$ és un subespacio vectorial de $X$, llavors $-\ker p=\ker p$ i l'assignació $x+\ker p\mapsto p(x)$, que es denotarà per $\hat{p}$, és una funció sublineal de valor real ben definida en l'espai cocient $X/\ker p$ que satisfà ${\hat{p}}^{-1}(0)=\ker p$. Si $p$ és una seminorma, llavors $\hat{p}$ és solament la norma canònica habitual en l'espai cocient $X/\ker p$.

Agregar $bc$ a abdós costats de l'hipòtesis $p(x)+ac<\underset{}{\inf }p(x+aK)$ (a on $p(x+aK)\stackrel{\text{ def }}{=}\{p(x+ak):k\in K\}$) i combinar-ho en la conclusió genera el resultat següent:

$p(x)+ac+bc<\underset{}{\inf }p(x+aK)+bc\le p(x+a𝐳)+bc<\underset{}{\inf }p(x+a𝐳+bK)$

lo que produïx moltes més desigualtats, incloent, per eixemple,

$p(x)+ac+bc<p(x+a𝐳)+bc<p(x+a𝐳+b𝐳)$

en el que una expressió d'un costat d'una desigualtat estricta $<$ es pot obtindre de l'atre reemplaçant el símbol $c$ per $𝐳$ (o viceversa) i movent el paréntesis de tancament a la dreta (o esquerra) d'un sumant adjacent (tots els demés símbols permaneixen fixos i sense canvis).

Seminorma associada

Si $p:X\to ℝ$ és una funció sublineal de valor real en un espai vectorial real $X$ (o si $X$ és complex, llavors, quan es considera com un espai vectorial real), es té que l'aplicació $q(x)\stackrel{\text{ def }}{=}\max \{p(x),p(-x)\}$ definix una seminorma en l'espai vectorial real $X$ cridada seminorma associada en $p$.

Una funció sublineal $p$ en un espai vectorial real o complex és funció simètrica si i solament si $p=q$ a on $q(x)\stackrel{\text{ def }}{=}\max \{p(x),p(-x)\}$ com abans.

De manera més general, si $p:X\to ℝ$ és una funció sublineal de valor real en un espai vectorial (real o complex) $X$, llavors

$q(x)\stackrel{\text{ def }}{=}\underset{|u|=1}{\sup }p(ux)=\sup \{p(ux):u\text{ es un escalar unitario }\}$

definirà una seminorma en $X$ si este suprem és sempre un número real (és dir, mai igual a $\mathrm{\infty }$).

Relació en funcionals llineals

Si $p$ és una funció sublineal en un espai vectorial real $X$, llavors els següents enunciats són equivalents:

1. $p$ és un funcional llineal.
2. per cada $x\in X,$ $p(x)+p(-x)\le 0.$
3. per cada $x\in X,$ $p(x)+p(-x)=0.$
4. $p$ és una funció sublineal mínima.

Si $p$ és una funció sublineal en un espai vectorial real $X$, llavors existix una funció llineal $f$ en $X$ tal que $f\le p.$

Si $X$ és un espai vectorial real, $f$ és una funcional llineal en $X,$ i $p$ és una funció sublineal positiva en $X,$ llavors $f\le p$ en $X$ si i solament si $f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1\}=\varnothing .$

Dominació d'un funcional llineal

Una funció de valor real $f$ definida en un subconjunt d'un espai vectorial real o complex $X$ es diu que és una funció sublineal $p$ si $f(x)\le p(x)$ per a cada $x$ que pertany al domini de $f.$ Si $f:X\to ℝ$ és un funcional llineal real en $X$, llavors $f$ està dominat per $p$ (és dir, $f\le p$) si i solament si $$-p(-x)\le f(x)\le p(x)\text{ para cada }x\in X.$$ Ademés, si $p$ és una seminorma o alguna atra (que per definició, significa que $p(-x)=p(x)$ és vàlit per a tots els $x$), llavors $f\le p$ si i solament si $|f|\le p$.

Continuïtat

Suponga's ara que $X$ és un espai vectorial topològic (EVT) sobre els número real o els número complejo i $p$ és una funció sublineal sobre $X$. Llavors, els següents enunciats són equivalents:

1. $p$ és contínua.
2. $p$ és contínua en 0.
3. $p$ és uniformemente contínua en $X$.

i si $p$ és positiva, llavors esta llista pot ampliar-se per a incloure:

4. $\{x\in X:p(x)<1\}$ està obert en $X.$

Si $X$ és un EVT real, $f$ és una funció llineal en $X,$ i $p$ és una funció sublineal contínua en $X,$ llavors $f\le p$ en $X$ implica que $f$ és contínua.

Operadors

El concepte pot estendre's a operadors homogéneus i subaditivos. Açò requerix solament que el codominio siga, pose's per cas, un espai vectorial ordenat per a que les condicions tinguen sentit.

Definició en informàtica

En ciències de la computació, una funció $f:{\mathbb{Z}}^{+}\to ℝ$ es diu sublineal si $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(n)}{n}=0,$ o $f(n)\in o(n)$ en notació asintòtica (observe's el chicotet símbol $o$).

Formalment, $f(n)\in o(n)$ si i solament si, per a qualsevol $c>0,$ dau existix un $N$ tal que $f(n)<cn$ per a $n\ge N.$ És dir, $f$ creix més llentament que qualsevol funció llineal. Els dos significats no deuen confondre's: mentres que un funcional de Banach és convexo, ocorre casi lo contrari en les funcions de creiximent sublineal: cada funció $f(n)\in o(n)$ pot estar acotada superiorment per una funció cóncava de creiximent sublineal.

Vore també

• Norma asimètrica
• Espai normado auxiliar
• Teorema de Hahn–Banach
• Funcional llineal
• Funcional de Minkowski
• Norma vectorial
• Seminorma
• Superaditividad

Bibliografia

• (2011) The Elements of Operator Theory, Second edició, Boston: Birkhäuser. OCLC 710154895. ISBN 978-0-8176-4998-2.
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis, Second edició (vol. 8), New York, NY: McGraw Hill Education. OCLC 21163277. ISBN 978-0-07-054236-5.
• Narici, Lawrence (2011). Topological Vector Spaces, Second edició, Boca Raton, FL: CRC Press. OCLC 144216834. ISBN 978-1584888666.
• Schaefer, Helmut H. (1999). Topological Vector Spaces, Second edició (vol. 8), New York, NY: Springer New York Imprint Springer. OCLC 840278135. ISBN 978-1-4612-7155-0.
• (1996) Handbook of Analysis and Its Foundations, Sant Diego, CA: Academic Press. OCLC 175294365. ISBN 978-0-12-622760-4.
• Trèves, François (2006). Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Mineola, N.Y.: Dover Publications. OCLC 853623322. ISBN 978-0-486-45352-1.