Renormalisació

En teoria quàntica de camps i atres àrees, la renormalisació es referix a un conjunt de tècniques usades per a obtindre térmens finitos en un desenrolle perturbativo. La renormalisació és important perque en teoria quàntica de camps no es coneixia la manera de calcular certes magnituts d'una atra manera que no siga una série formal de potències. El problema és que alguns dels térmens de la série poden resultar divergents en el llímit d'altes energies, aun cuando físicament els valors observats són finitos. Açò sembla un problema associat en l'us de séries perturbativas, i supostament alguns métodos no perturbativos no coneguts resoldrien el problema. Per lo tant, la renormalisació és necessària ya que hui en dia no es coneix cóm fer els càlculs sense séries perturbativas.

Erro al crear miniatura:

Figura 1. Renormalisació en electrodinàmica quàntica: la simple interacció entre fotó-electró que determina la càrrega de l'electró, en un determinat punt renormalizado es relleva en més complicades interaccions que en un atre.

Introducció

Estos procediments tenen que vore en els problemes que sorgixen de passar a un llímit continu i tenen que vore en la autointeracción d'un camp conseguixc mateix. Més concretament, quan es descriu un sistema físic de manera aproximada per mig d'una ret discreta de punts certes cantitats estan ben definides, no obstant, en passar al llímit continu de forma "crua" considerant una infinitat de punts, les cantitats estan mal definides matemàticament. És dir, sobre un espai-temps definit com una retícula de punts numerable, la teoria dona resultats finitos pero en fer disminuir la distància mínima entre punts cap a zero, alguns térmens es disparen a infinit. La renormalisació consistix en un conjunt de procediments de calcular el llímit continu de manera alternativa de manera que totes les cantitats estiguen ben definides i no donen lloc a térmens infinits.

Cuánticamente no resulta possible medir el valor del camp en infinita precisió en un punt de l'espai, sino solament en una regió molt chicoteta pero no de volum nul. De fet la magnitut observable lligada a un camp físic és una distribució definida sobre funcions de soport compacte els valors del qual són operadors de camp. En el cas de teories de camp lliure (sense autointeraccions) este fet no causa problemes sérios i es pot construir un formalisme no perturbativo. No obstant, per a un camp en interacció ningú sap cóm formular una teoria exacta del camp, per lo que el procediment comú és considerar un desenrolle perturbativo respecte a la teoria del camp lliure (sense interacció). I en eixe cas, resulta inevitable considerar productes d'operadors de camp en el mateix punt de l'espai, lo que és una operació que matemàticament no està ben definida en tots els casos.

Teories de gauge

Una propietat important de les teories de camp recalibrado és que tenen la propietat de ser renormalisables, és dir, existix una tècnica ben definida que dona lloc a térmens finitos (ademés experimentalment vàries d'estes teories renormalisables s'han comprovat no solament correctes sino numèricament molt precises). El fet de que es tinga un procediment clar de renormalisació per a teories de recalibración, ha fet que este tipo de teories de camp hagen segut extensivamente estudiats, ya que per mig de renormalisació permeten obtindre respostes finitas contrastables en els experiments.

La renormalisació determina la relació entre els paràmetros de la teoria, quan els paràmetros que descriuen el comportament per a grans distàncies diferixen de l'els paràmetros que descriuen el comportament a chicotetes distàncies. La renormalisació va ser desenrollada inicialment per a l'electrodinàmica quàntica (QED) en l'objectiu de donar sentit als valors infinits de certes integrals obtingudes per mig de teoria de destorbament a partir del cas del camp lliure. Si ben inicialment, es va vore com un procediment sospitós, i físics com Paul Dirac la varen criticar, per lo que va ser vist com un procediment no rigorós i provisional, en el temps la propietat de ser renormalisable per dit procediment va acabar sent considerat com un important indici de la autoconsistencia i adequació d'una teoria de camps, tant des del punt de vista físic com a matemàtic.

Plantejament i història del problema

Autointeracción en física clàssica

El problema de l'aparició d'infinits per la autointeracción ya va sorgir en certs problemes d'elecrodinámica clàssica de partícules puntuals a finals de el XIX i principis de el XX. D'acort en la teoria de la relativitat especial es va pensar que la massa d'una partícula carregada deuria incloure la massa-energia del camp electroestático (massa electromagnètica). Assumint que la partícula és un clafoll esfèric carregat de ràdio r_i, la massa energia del camp és:

Esta massa tendix a infinit en el llímit r_i → 0. Açò implicaria que una partícula perfectament puntual tindria una inèrcia infinita i per tant no podria ser accelerada. El radi clàssic de l'electró és precisament el valor de r_i per al qual la massa anterior coincidix en la massa d'un electró, triant ademés $q=e$. Restaurant els factors c i ${\epsilon }_0$ l'expressió del radi clàssic ve donada per:

a on $\alpha \approx 1/137$ és la constant d'estructura fina i $\hslash /m_{\mathrm{e}}c$ és la llongitut d'ona Compton de l'electró.

La massa total efectiva d'una partícula esfèrica inclou la massa neta del clafoll esfèric (ademés de la massa anteriorment mencionada associada a la seua camp elèctric). Si es permet que la massa del clafoll esfèric siga negativa, seria possible desenrollar un punt llímit consistent. Açò és lo que es diu renormalisació. H. Lorentz i M. Abraham varen intentar desenrollar una teoria clàssica de camps per a l'electró, usant eixa idea. Este treball pioner va inspirar treballs posteriors relacionats en la regularisació i la renormalisació en teoria quàntica de camps.

Quan es calcula l'interacció electromagnètica entre partícules carregades eléctricament, resulta tentador ignorar la retrorreacción d'una partícula del propi camp de la partícula sobre ella mateixa. Pero esta retrorreacción és necessària per a explicar l'efecte de frenat de partícules carregades que emeten radiació. Si s'assumix que l'electró és una partícula perfectament puntual, el valor de la retrorreacción resulta infinit, i per la mateixa raó la seua massa electromagnètica no és finita, perque el camp seguix una llei de l'inversa del quadrat.

La teoria de Abraham-Lorentz té conseqüències no causals conegudes com "preaceleración". A voltes l'electró escomença a moure's abans de que la força s'aplique, esta característica és un signe de inconsistencia. El problema és pijor en l'electrodinàmica clàssica que en l'electrodinàmica quàntica, degut a que en el cas quàntic una partícula carregada experimenta un Zitterbewegung per la autointeracción en parells de partícula-antipartícula.

El cas d'electrodinàmica quàntica (QED)

Figura 2. Diagrama representant la dispersió electró-electró en QED. El bucle posseïx una divergència ultravioleta.

Polarisació del buit o apantallamiento de la càrrega. Este diagrama conté un cicle tancat que comporta una divergència ultravioleta de tipo logarítmic.

Diagrama de autointeracción en QED.

l'electrodinàmica quàntica va ser el primer cas exitós de teoria quàntica de camps renormalisable i el seu desenroll va supondre la creació en paralel de l'idea de renormalisació que després va ser aplicada a atres teories quàntiques de camps. Quan es va desenrollar l'electrodinàmica quàntica durant els anys 1930, Max Born, Werner Heisenberg, Pascual Jordan i Paul Dirac varen descobrir que els càlculs perturbativos donaven lloc a integrals que divergien a infinit.

La manera de descriure eixes divergències es va basar en el treball d'Ernst Stueckelberg (ya en els anys 1930), i casi una década més vesprada per Julian Schwinger, Richard Feynman, i Shin'ichiro Tomonaga. Finalment tots estos treballs varen ser sistematisats per Freeman Dyson. Les divergències apareixen en els càlculs basats en diagrames de Feynman en cicles tancats (closed loops) associats a partícules virtuals de la teoria. Encara que estes partícules virtuals obedixen les lleis de conservació de l'energia i la cantitat de moviment, poden assumir qualsevol energia i moment, inclús un valor que no està permés per la relació relativista moment-energia (és dir, $\sqrt{E^2-p^2{c}^2}/c^2$ no és exactament igual a la massa de la partícula que participa en dit procés. Aixina per eixemple, per a un fotó virtual la cantitat anterior podria no ser zero, lo que equival a que tinguera massa. Una partícula en una relació anómala entre energia i moment es denomina partícula off-shell (ya que en l'espai cuatridimensional format per $(E,p_x,p_y,p_z)$ solament una "clafoll" (shell) de punts satisfà la relació $m=\sqrt{E^2-p^2{c}^2}/c^2$).

Quan existix un cicle tancat o loop, el moment de les partícules que participen en dit cicle tancat no ve unívocament determinada per les energies i els moments de les partícules reals entrantes i eixints (se supon que l'interacció està localisada en una regió compacta de l'espai temps, i les partícules entrantes són les que apleguen a ella i les eixints les que emergixen d'ella). Una variació en l'energia d'una de les partícules del cicle tancat pot ser compensada per una variació igual i oposta en l'energia d'atres partícula del cicle tancat. Aixina per a trobar l'amplitut del procés cíclico un deu considerar l'operació d'integració sobre totes les possibles combinacions de valors de l'energia i el moment que poden viajar a lo llarc del cicle tancat.

Estes integrals freqüentment són divergents, és dir, no donen lloc a un valor finit en un càlcul directe. Les divergències que són significatives són les divergències ultravioletas (UV). Una divergència ultravioleta pot descriure's com una que és resultat de:

• la regió d'integració a on les partícuas del cicle tenen un moment i una energia molt massa grans.
• una llongitut d'ona extremadament curta i freqüència molt alta de les fluctuacions dels camps físics, en l'integral de camí del camp.
• un temps propi molt curt entre l'emissió i la reabsorción, si el cicle es pensa com una suma sobre les trayectòries de les partícules.

Per tant, estes divergències impliquen fenomens que es donen a lo llarc de distàncies molt chicotetes i temps molt curts. En QED existixen exactament tres diagrames en cicles tancats divergents

1. Un fotó crea un parell virtual electró-positrón que es autoaniquila, este diagrama es denomina de polarisació del buit.
2. Un electró que ràpidament emet i reabsorbe un fotó virtual, cridat diagrama de autoenergía.
3. Un electró emet un fotó, emet un segon fotó, i reabsorbe el primer. Este procés es mostra en la figura, i es diu renormalisació de vèrtiç. El diagrama de Feynman per a este cas també es diu diagrama pingüí degut a que la seua forma sembla remótamente un pingüí (en l'estat inicial i final dels electrons com els braços i les cames, el segon fotó com el cos i el primer fotó del cicle com el cap).

Les tres divergències corresponen als tres paràmetros de la teoria:

1. la normalisació del camp Z.
2. la massa de l'electró.
3. la càrrega de l'electró.

Una segona classe de divergència, cridada divergència infrarroja, es deu a les partícules sense massa, com el fotó. Tot procés en el que intervenen partícules carregades emet infinits fotons coherents de llongitut d'ona infinita, i l'amplitut per a emetre qualsevol número finit de fotons és zero. En el cas dels fotons, estes divergències es coneixen be. Per eixemple, en l'orde d'1 bucle, la funció de vèrtiç té divergències tant en el ultravioleta com en el infrarrojo. En contrast en la divergència ultravioleta, la divergència infrarroja no requerix la renormalisació d'un paràmetro en la teoria. La divergència infrarroja del diagrama de vèrtiç s'elimina incloent un diagrama similar al diagrama de vèrtiç en la següent diferència important: el fotó que conecta les dos pates de l'electró es talla i se substituïx per dos fotons on shell (és dir, reals) les llongituts dels quals d'ona tendixen a infinit; este diagrama és equivalent al procés de bremsstrahlung. Este diagrama adicional deu incloure's perque no hi ha manera física de distinguir un fotó d'energia zero que fluïx a través d'un bucle com en el diagrama de vèrtiç i els fotons d'energia zero emesos a través de bremsstrahlung. Des d'un punt de vista matemàtic les divergències IR es poden regularisar assumint una diferenciació fraccionaria sobre un paràmetro, per eixemple

$N-{(p^2-a^{2}N)}^{\frac{1}{2}}$

està ben definit en p = a pero és una divergència ultravioleta, si es pren la derivada fraccional d'orde 3/2 sobre $-a^2$ s'obté una divergència infrarroja:

$\frac{1}{p^2-a^2},$

per tant, es poden resoldre les divergències infrarrojas convertint-les en divergències ultravioletas.

Divergència d'un bucle

El diagrama de la Figura 2 mostra una de les vàries contribucions d'un bucle a la dispersió electró-electró en QED. L'electró en el costat esquerre del diagrama, representat per la llínea sòlida, comença en quatre moments p^μ i termina en quatre moments r^μ. Emet un fotó virtual que du r^μ − p^μ per a transferir energia i moment a l'atre electró. Pero en este diagrama, ans que això succeïxca, emet un atre fotó virtual que du quatre moments q^μ, i reabsorbe este despuix d'emetre l'atre fotó virtual. La conservació de l'energia i el moment no determina el quatre moments q^μ de forma única, per lo que totes les possibilitats contribuïxen per igual i devem integrar-nos. L'amplitut d'este diagrama termina en, entre atres coses, un factor del bucle de

$-i{e}^3\int \frac{d^{4}q}{(2\pi {)}^4}{\gamma }^{\mu }\frac{i({\gamma }^{\alpha }(r-q{)}_{\alpha }+m)}{(r-q{)}^2-m^2+iϵ}{\gamma }^{\rho }\frac{i({\gamma }^{\beta }(p-q{)}_{\beta }+m)}{(p-q{)}^2-m^2+iϵ}{\gamma }^{\nu }\frac{-i{g}_{\mu \nu }}{q^2+iϵ}$

Les diferents ${\gamma }^{\mu }$ d'esta expressió són matrius gamma com en la formulació covariant de l'equació de Dirac; tenen que vore en l'espin de l'electró. Els factors de $e$ són la constant d'acoplament elèctric, mentres que la $iϵ$ proporcionen una definició heurística del contorn d'integració al voltant dels pols en l'espai de momenta. La part important per als nostres propòsits és la dependència de q^μ dels tres grans factors en l'integrant, que són del propagadors de les dos llínees d'electrons i la llínea de fotons en el bucle. Açò té una peça en dos poders de $q^{\mu }$ en la part superior que domina en valors grans de q^μ (Pokorski 1987, p. 122):

$e^3{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\alpha }{\gamma }^{\rho }{\gamma }^{\beta }{\gamma }_{\mu }\int \frac{d^{4}q}{(2\pi {)}^4}\frac{q_{\alpha }{q}_{\beta }}{(r-q{)}^2(p-q{)}^2{q}^2}$

Esta integral és divergent i infinita a menos que la tallem a energia finita i moment d'alguna manera. Divergències de bucle similars ocorren en atres teories quàntiques de camps.

Cantitats renormalisades i cantitats nuetes

La solució als problemes anteriors consistix en apreciar que les cantitats que inicialment apareixien en les fòrmules de la teoria (com en la fòrmula del langrangiano), representen coses com la càrrega i la massa de l'electró, aixina com les normalisació dels propis camps quàntics, no són de fet les constants físiques mides en el laboratori.

Vore també

• Grup de renormalisació
• Teoria de camp de gauge

Referències

Bibliografia

• Kevin Costello (2011): Renormalization and Effective Field Theory, ISBN 978-0-8218-5288-0.
• Robert M. Wald, General Relativity, Chicago University Press, ISBN 0-226-87033-2.