Radi clàssic de l'electró

El radi clàssic de l'electró, també conegut com a ràdio de Lorentz o llongitut de difusió Thomson, es basa en un model relativista clàssic de l'electró (és dir, no quàntic). El seu valor es calcula com

$r_{\mathrm{e}}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{e^2}{m_e{c}^2}$

Símbol	Nom	Valor	Unitat
$r_{\mathrm{e}}$	Radi de l'electró	2.8179402894(58)E-15	m
${\epsilon }_0$	Permitividad del buit o espai lliure		C2 / (N m2)
$e$	Càrrega elèctrica		C
$m_e$	Massa del electró		kg
$c$	Velocitat de la llum		m / s

En unitats CGS, açò se simplifica

$r_{\mathrm{e}}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{e^2}{m_e{c}^2}=2.8179402894(58)\times 10^{-13}\mathrm{c}\mathrm{m}$

i expressant-ho en (fins a tres sifres significatives)

$e=4.80\times 10^{-10}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{u}$

$m=9.11\times 10^{-28}\mathrm{g}$

$c=3.00\times 10^{10}\mathrm{c}\mathrm{m}/\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}$

Deducció

Aplicant l'electrostàtica clàssica, l'energia necessària per a carregar una esfera de densitat de càrrega constant, de radi $r_e$ i de càrrega $e$ és:

$E=\frac{3}{5}\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{e^2}{r_{\mathrm{e}}}$

Si la càrrega està en la superfície, l'energia és

$E=\frac{1}{2}\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{e^2}{r_{\mathrm{e}}}$

Fent cas omís dels factors de 3/5 o 1/2, si açò s'iguala a l'energia relativista de l'electró ($E=m{c}^2$) i es resol per a $r_e$), s'obté l'anterior resultat.

En térmens simples, el radi clàssic de l'electró és aproximadament el tamany que necessitaria tindre l'electró per a que la seua massa anara deguda per complet al seu energia potencial electrostàtica - sense tindre en conte la mecànica quàntica. Ara sabem que la mecànica quàntica, per eixemple la teoria quàntica de camps, és necessària per a entendre el comportament dels electrons en escales de tan curta distància, per lo tant el radi clàssic de l'electró ya no es considera com el tamany real d'un electró. No obstant, el radi clàssic de l'electró s'utilisa com a llímit en les modernes teories clàssiques sobre l'electró, tals com la dispersió de Thomson no-relativista i la fòrmula de Klein-Nishina relativista. Ademés, el radi clàssic de l'electró és més o menys la llongitut d'escala a la que la renormalización es fa important en electrodinàmica quàntica. Marca una cota inferior de validea de l'electrodinàmica clàssica.

El radi clàssic de l'electró és una de les tres constants físiques relacionades en la llongitut, sent les atres dos el ràdio de Bohr $a_0$ i la llongitut d'ona Compton de l'electró ${\lambda }_e$. El radi clàssic de l'electró es deduïx a partir de la massa de l'electró $m_e$, la velocitat de la llum $c$ i la càrrega de l'electró $e$. El radi de Bohr es deduïx a partir de $m_e$, $e$ i la constant de Planck $h$. La llongitut d'ona Compton es deduïx a partir de $m_e$, $h$ i $c$. Qualsevol d'estes tres llongituts es pot escriure en térmens de qualsevol atra usant la constant d'estructura fina $\alpha$:

$r_e=\frac{\alpha {\lambda }_e}{2\pi }={\alpha }^2{a}_0$

Extrapolació

Extrapolando a partir de l'equació inicial, a qualsevol massa $m_0$ se li pot associar un radi electromagnètic semblant al radi clàssic de l'electró.

$r=\frac{k_{\mathrm{C}}{e}^2}{m_0{c}^2}=\frac{\alpha \hslash }{m_{0}c}$

a on $k_{\mathrm{C}}$ és la constant de la llei de Coulomb, $\alpha$ és la constant d'estructura fina i $\hslash$ és la constant de Planck.