Força de Abraham-Lorentz

En electromagnetisme, la força de Abraham-Lorentz és la força mija sobre una partícula carregada en moviment accelerat causada per l'emissió de radiació electromagnètica per part de la partícula. És aplicable quan la partícula viaja a velocitats menudes, l'extensió per a velocitats relativistes es coneix com força de Abraham-Lorentz-Dirac. El nom fa referència als físics Max Abraham i Hendrik Lorentz.

En un principi es va pensar que la solució del problema de la força de Abraham-Lorentz predia que senyals del futur afectaven al present, desafiant l'intuïció de causa-efecte. Les tentatives de resoldre el problema afecta a moltes àrees de la física moderna, no obstant Arthur Yaghjian va terminar demostrant que la solució és prou més simple.

Definició i descripció

Matemàticament la força de Abraham-Lorentz, en unitats del SI, ve donada per:

${𝐅}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}=\frac{{\mu }_0{q}^2}{6\pi c}\dot{𝐚}=\frac{q^2}{6\pi {ϵ}_0{c}^3}\dot{𝐚}$

Ací F_rad és la força, $\dot{𝐚}$ és la derivada de l'acceleració, o la tercera derivada del desplaçament, també cridada tirada, μ₀ és la permitividad magnètica en el buit, ε₀ és la permitividad elèctrica en el buit, c és la velocitat de la llum en el buit, i q és la càrrega elèctrica de la partícula.

Per a baixes velocitats, d'acort en la fòrmula de Larmor, una partícula en moviment accelerat emet una radiació que transporta un moment llunt de la càrrega. Ya que el moment es conserva, la càrrega és impulsada en direcció oposta a la de la radiació emesa. La força de Abraham-Lorentz és la força mija d'una partícula carregada en moviment accelerat deguda a l'emissió de radiació.

Derivació

Partint de la fòrmula de Larmor per a la radiació d'una càrrega puntual:

$P=\frac{{\mu }_0{q}^2{a}^2}{6\pi c}$.

Si assumim que el moviment d'una partícula carregada és periòdic, llavors el treball mig fet sobre la partícula segons la força de Abraham-Lorentz és la potència negativa de Larmor integrada sobre un periodo entre ${\tau }_1$ i ${\tau }_2$:

$\underset{{\tau }_1}{\overset{{\tau }_2}{\int }}{𝐅}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\cdot 𝐯dt=\underset{{\tau }_1}{\overset{{\tau }_2}{\int }}-Pdt=-\underset{{\tau }_1}{\overset{{\tau }_2}{\int }}\frac{{\mu }_0{q}^2{a}^2}{6\pi c}dt=-\underset{{\tau }_1}{\overset{{\tau }_2}{\int }}\frac{{\mu }_0{q}^2}{6\pi c}\frac{d𝐯}{dt}\cdot \frac{d𝐯}{dt}dt$.

Note's que l'expressió anterior pot ser integrada per parts. Si assumim que hi ha un moviment periòdic, els llímits de l'integral per parts desapareixen:

$\underset{{\tau }_1}{\overset{{\tau }_2}{\int }}{𝐅}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\cdot 𝐯dt=-\frac{{\mu }_0{q}^2}{6\pi c}\frac{d𝐯}{dt}\cdot 𝐯{|}_{{\tau }_1}^{{\tau }_2}+\underset{{\tau }_1}{\overset{{\tau }_2}{\int }}\frac{{\mu }_0{q}^2}{6\pi c}\frac{d^2𝐯}{d{t}^2}\cdot 𝐯dt=-0+\underset{{\tau }_1}{\overset{{\tau }_2}{\int }}\frac{{\mu }_0{q}^2}{6\pi c}\dot{𝐚}\cdot 𝐯dt$.

Clarament podem identificar

${𝐅}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}=\frac{{\mu }_0{q}^2}{6\pi c}\dot{𝐚}$.