Fòrmula de Larmor

Archiu:Montreal-tower-top.thumb2.jpg

Una antena Yagi. Les ones de radi poden radiarse des d'una antena accelerant electronés en ella. Este procés és coherent de modo que la potència radiada és proporcional al quadrat del número d'electrons accelerats.

La fòrmula de Larmor s'usa per a calcular la potència total radiada per una càrrega elèctrica puntual no relativista quan esta és accelerada o desaccelerada. Esta expressió és útil en l'electrodinàmica i no deu ser confosa en la precesión de Larmor de la resonància magnètica nuclear clàssica. La fòrmula va ser obtinguda per primera volta per J. J. Larmor en 1897, en el context de la teoria ondulatoria de la llum.

Quan qualsevol partícula carregada (com un electró, un protón o un ion) s'accelera, irradia energia en forma d'una ona electromagnètica. Para velocitatés menudes, comparades en la velocitat de la llum, la potència total radiada està donada per la fòrmula de Larmor:

$P=\frac{q^2{a}^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}$ (Unitats del SI),

$P=\frac{2}{3}\frac{q^2{a}^2}{c^3}$ (Unitats cgs),

a on $a$ és l'acceleració, $q$ és la càrrega, i $c$ és la velocitat de la llum. Els potencials de Liénard-Wiechert donen una generalisació per al cas relativista.

En qualsevol sistema d'unitats, la potència radiada per un sol electró pot expressar-se en térmens del radi clàssic de l'electró i de la seua massa com:

$P=\frac{2}{3}\frac{m_e{r}_e{a}^2}{c}$

Derivació

1.ª derivació: aproximació matemàtica

Primer és necessari trobar la forma dels camps elèctric i magnètic. Estos poden obtindre's a partir dels potencials de Liénard-Wiechert.

$𝐄(𝐫,t)=q{\left(\frac{𝐧-𝜷}{{\gamma }^2(1-𝜷\cdot 𝐧{)}^3{R}^2}\right)}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{t}}+\frac{q}{c}{\left(\frac{𝐧\times [(𝐧-𝜷)\times \dot{𝜷}]}{(1-𝜷\cdot 𝐧{)}^{3}R}\right)}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{t}}$

i

$𝐁=𝐧\times 𝐄,$

a on β és la velocitat de la càrrega dividida per c, $\dot{𝜷}$ és l'acceleració de la càrrega dividida per c, n és un vector unitari en la direcció de r − r₀, R és la magnitut de r − r₀, i r₀ és la posició de la càrrega. Els térmens del costat dret estan evaluats en el temps retardado, t_r = t − R/c.

El costat dret de la primera equació és la suma dels camps elèctrics associats a la velocitat i a l'acceleració de la partícula carregada. El camp per la velocitat depén únicament de β, mentres que el camp per l'acceleració depén tant de β com de $\dot{𝜷}$ i de la relació angular entre abdós. Degut a que el camp per la velocitat és proporcional a 1/R², decau molt ràpidament en la distància. Per un atre costat, el camp per l'acceleració és proporcional a 1/R, lo que implica que decau més llentament en la distància. Per açò, el camp per l'acceleració és representatiu del camp de radiació i és el responsable de transportar la major part de l'energia des de la càrrega.

Es pot trobar la densitat de fluix d'energia del camp de radiació calculant el vector de Poynting:

$𝐒=\frac{c}{4\pi }{𝐄}_{\text{a}}\times {𝐁}_{\text{a}},$

a on els subíndexs «a» servixen per a resaltar el fet de que estem prenent en conte solament el camp per l'acceleració. En substituir la relació entre el camp magnètic i elèctric i suponent que la partícula està instantàneament immòvil al temps t_r i simplificant s'obté

$𝐒=\frac{q^2}{4\pi c}{\left|\frac{𝐧\times (𝐧\times \dot{𝜷})}{R}\right|}^2.$

Si fem que l'àngul entre el vector d'acceleració i el vector que apunta a l'observador siga igual a θ i introduïm l'acceleració $𝐚=\dot{𝜷}c$, llavors la potència radiada per unitat d'àngul sòlit és

$\frac{dP}{d\Omega }=\frac{q^2}{4\pi c}\frac{{\sin }^2(\theta )a^2}{c^2}.$

La potència total radiada es troba integrant esta cantitat sobre tots els ànguls sòlits (és dir, sobre θ i ϕ). Açò dona

$P=\frac{2}{3}\frac{q^2{a}^2}{c^3},$

que és el resultat de Larmor per a una càrrega accelerada no relativista. Esta expressió relaciona la potència radiada per la partícula en la seua acceleració. Clarament es veu que mentres més s'accelera la càrrega, major serà la radiació. Est és un resultat que s'esperaria, ya que el camp de radiació depén de l'acceleració.

2.ª derivació: aproximació de E. M. Purcell

La següent derivació va ser obtinguda per Edward M. Purcell. Esta aproximació es basa en la velocitat finita de la llum. Una càrrega movent-se a velocitat constant té un camp elèctric radial I_r (a una distancia R de la càrrega), sempre eixint d'una posició futura de la càrrega, i sense component tangencial del camp elèctric (I_t = 0). Esta posició futura és completament determinista, sempre que la velocitat siga constant. Quan la velocitat de la càrrega canvia (digam en retrocedir durant un curt temps), la posició futura de la càrrega «bota», de modo que des d'eixe moment en avant el camp elèctric radial I_r emergix des d'una posició nova. Ya que el camp elèctric deu ser continu, apareix una component tangencial del camp I_t que decreix com 1/R (a diferència de la component radial, que decreix com 1/R²).

Llavors, a distàncies grans mides des de la càrrega, la component radial és despreciable, comparada en la component tangencial. Ademés d'açò, els camps que es comporten com 1/R² no poden radiar, ya que el vector de Poynting associat a ells tindrà un comportament com 1/R⁴.

La component tangencial resulta ser (en unitats de el SI):

$E_t=\frac{ea\sin (\theta )}{4\pi {\epsilon }_0{c}^{2}R}.$

Per a obtindre la fòrmula de Larmor és necessari integrar el vector de Poynting associat a I_t sobre tots els ànguls a distàncies R grans des de la càrrega. Açò és:

$𝐒=\frac{E_t^2}{{\mu }_{0}c}\widehat{𝐫}=\frac{e^2{a}^2{\sin }^2(\theta )}{16{\pi }^2{\epsilon }_0{c}^3{R}^2}\widehat{𝐫},$

lo que dona com a resultat

$P=\frac{e^2{a}^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}.$

Açò és equivalent matemàticament a:

$P=\frac{{\mu }_0{e}^2{a}^2}{6\pi c}.$

Generalisació relativista

Forma covariant

Escrita en térmens del moment p la fòrmula no relativista de Larmor és (en unitats CGS)

$P=\frac{2}{3}\frac{q^2}{m^2{c}^3}|\dot{𝐩}{|}^2.$

Es pot demostrar que la potència P és un invariante de Lorentz. Qualsevol generalisació relativista de la fòrmula de Larmor deu llavors relacionar P en alguna atra cantitat invariante de Lorentz. La cantitat |ṗ|² que apareix en la fòrmula no relativista sugerix que la fòrmula relativista correcta deuria incloure l'escalar de Lorentz que es troba prenent el producte intern de la cuadriaceleración a^μ = dp^μ/dτ en si mateixa [ací, p^μ = (γmc,γmv) és el cuadrimomento]. La generalisació relativista correcta de la fòrmula de Larmor és (en unitats CGS):

$P=-\frac{2}{3}\frac{q^2}{m^2{c}^3}\frac{d{p}_{\mu }}{d\tau }\frac{d{p}^{\mu }}{d\tau }.$

Pot demostrar-se que este producte intern està donat per

$\frac{d{p}_{\mu }}{d\tau }\frac{d{p}^{\mu }}{d\tau }={\beta }^2{\left(\frac{dp}{d\tau }\right)}^2-{\left(\frac{d𝐩}{d\tau }\right)}^2,$

Per lo tant, en el llímit quan β ≪ 1, es reduïx a −|ṗ|², reproduint llavors el cas no relativiste.

Forma no covariant

El producte intern anterior pot escriure's també en térmens de β i la seua derivada temporal. Llavors, la generalisació relativista de la fòrmula de Larmor és (en unitats CGS):

$P=\frac{2q^2{\gamma }^6}{3c}[(\dot{𝜷}{)}^2-(𝜷\times \dot{𝜷}{)}^2].$

Est és el resultat de Liénard, obtingut per primera volta en 1898. La cantitat γ⁶ implica que quan el factor de Lorentz és propenc a un,

$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}\approx 1$

(i, per lo tant, β ≪ 1), la radiació emesa per la partícula és segurament despreciable. No obstant, conforme β tendix a un, la radiació creix com γ⁶ mentres la partícula pert energia en forma d'ones electromagnètiques. Aixina mateix, quan l'acceleració i la velocitat són ortogonalés, la potència es reduïx en un factor 1 − β² = 1/γ². És dir, el factor γ⁶ es convertix en γ⁴. Mentres el moviment es torna més ràpit, esta reducció es torna major.

Podem utilisar el resultat de Liénard per a predir el tipo de pèrdues de radiació que s'esperarien en diferents classes de moviment.

Distribució angular

La distribució angular de la potència radiada està donada per una fòrmula general que és vàlida tant per a partícules clàssiques com a relativistes. En unitats CGS, esta fòrmula és

$\frac{dP}{d\Omega }=\frac{q^2}{4\pi c}\frac{|\widehat{𝐧}\times [(\widehat{𝐧}-𝜷)\times \dot{𝜷}]{|}^2}{(1-\widehat{𝐧}\cdot 𝜷{)}^5},$

a on n̂ és un vector unitari que apunta des de la partícula cap a l'observador. En el cas de moviment llineal (velocitat paralela a l'acceleració), lo anterior se simplifica a

$\frac{dP}{d\Omega }=\frac{q^2{a}^2}{4\pi c^3}\frac{{\sin }^2\theta }{(1-\beta \cos \theta {)}^5},$

a on θ és l'àngul entre l'observador i el moviment de la partícula.

Referències

Bibliografia

• J. Larmor, "On a dynamical theory of the electric and luminiferous medium", Philosophical Transactions of the Royal Society 190, (1897) pp. 205–300 (Tercer i últim d'una série d'artículs en el mateix títul).

• D. J. Griffiths (2013.). Introduction to Electrodynamics, 4.ª edició, Pearson. ISBN 0321847814.
• Jackson, John D. (1998). Classical Electrodynamics (3.ª ed.), Wiley. ISBN 0-471-30932-X. (Secció 14.2ff)

• Misner, C.; Thorne, K. S. i Wheeler, J. A. (1973). Gravitation, Sant Francisco: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.

• R. P. Feynman, F. B. Moringo, i W. G. Wagner (1995). Feynman Lectures on Gravitation, Addison-Wesley. ISBN 0-201-62734-5.