Àngul sòlit

Archiu:Steradian.svg

Àngul sòlit

Archiu:Ruimtehoek.png

Per a calcular l'àngul sòlit d'una superfície, es proyecta l'objecte sobre una esfera de radi conegut.

El àngul sòlit és l'àngul espacial que comprén un objecte vist des d'un punt donat, que es correspon en la zona de l'espai llimitada per les rectes proyectantes des de l'objecte cap a l'observador.

Per eixemple, si la proyecció cònica de l'objecte té forma circular, l'àngul espacial correspon a l'àngul sòlit d'un con. Si la proyecció cònica és un quadrat l'àngul sòlit és l'àngul espacial d'una piràmide el vèrtiç de la qual és l'observador.

L'unitat de l'àngul sòlit en el SI és l'estereoradiant, el símbol del qual és sr. És una magnitut adimensional que es representa en la lletra grega Ω.

Per a calcular l'àngul sòlit baix el qual es veu un objecte des d'un punt, es proyecta l'objecte sobre una esfera de radi $R$ conegut, centrada en el punt de vista. Si la superfície de la proyecció de l'objecte sobre l'esfera és $S$, l'àngul sòlit baix el qual es veu l'objecte és, per definició:

$\Omega =\frac{S}{R^2}$

Expressions diferencial i integral

Archiu:Moglf26a Ángulo sólido.jpg

Àngul sòlit.

Considerem una superfície dS (com es mostra en la figura) i unim tots els punts del seu contorn en un punt O. D'esta manera obtindrem una superfície cònica, de vèrtiç en O, que delimitarà un àrea $d\Omega$ sobre la superfície d'una esfera de ràdio unitat i centrada en O. Dita àrea constituïx la mida d'àngul sòlit baix el qual es veu la superfície dS des del punt O.

Es definix l'àngul sòlit baix el qual es veu una superfície des del punt O com l'àrea de la proyecció cònica de dita superfície sobre una esfera de ràdio unitat centrada en O.

L'unitat d'àngul sòlit és l'estereoradiant (sr), definit com l'àngul sòlit que tenint el seu vèrtiç en el centre d'una esfera, delimita un àrea en la superfície de la mateixa igual a la d'un quadrat els costats del qual siguen iguals a la llongitut del radi.

Per conveni, es diu que l'àngul sòlit és positiu si des del punt O es divisa la cara negativa (cóncava) de la superfície. L'àngul sòlit serà negatiu si des d'O es divisa la cara positiva (convexa) de la superfície. D'acort en les definicions anteriors, és fàcil comprendre que l'àngul sòlit baix el qual es veu una superfície tancada des d'un punt O situat en l'interior de la mateixa val $+4\pi$ sr. Açò és aixina perque tota la superfície de l'esfera de ràdio unitat, l'àrea de la qual és $+4\pi$, quedarà recoberta en proyectar sobre ella la superfície tancada que l'envol.

En canvi, l'àngul sòlit baix el qual es veu una superfície tancada des d'un punt O exterior a la mateixa és nul. Açò és aixina perque des d'O veem la cara positiva (convexa) de la superfície tancada baix un àngul sòlit que designarem per $-\Omega$. Immediatament darrere veem la cara negativa (cóncava) de la superfície, baix el mateix àngul sòlit, en valor absolut, que designarem per $+\Omega$. Òbviament, resulta que ${\Omega }_t=-\Omega +\Omega =0$.

Busquem ara l'expressió de l'element d'àngul sòlit $\Omega$ baix el qual es veu un element de superfície dS des d'un punt O, com s'ilustra en la figura. El producte escalar ${𝐞}_r\cdot d𝐒=dS\cos \theta$ representa la proyecció del vector dS en la direcció radial i_r procedent d'O i que passa per el "centre" de l'element de superfície. Dit d'un atre modo, ${𝐞}_r\cdot d𝐒$ és la proyecció de l'element d'àrea dS sobre un pla perpendicular a la direcció de i_r. Ara, una simple relació de semblança entre la component de l'àrea a una distància $r$ i l'àrea subtendida en l'esfera unitària (reconeixent que la superfície d'una esfera varia com $r^2$), nos permet escriure:

que constituïx l'expressió matemàtica de l'àngul sòlit elemental. Llavors, l'àngul sòlit baix el qual es veu una superfície finita S des d'un punt O serà

Eixemples

Archiu:Polar-cap.jpg

Conya esfèrica en àngul aparent $2\theta$.

L'àngul sòlit baix el qual es veu un objecte depén tant de les dimensions de l'objecte com de la distància a la que es troba de l'observador. Aixina, l'àngul sòlit baix el qual es veu una moneda d'un cèntim d'un euro a 1,80 m, la Lluna o el Sol, és molt semblat ($\simeq 6\times 10^{-5}$ sr) a pesar de l'enorme diferència de dimensions.

Un full de paper normalisat A4 (210 mm x 297 mm), vista des d'un punt centrat situat a 216 mm del full es veu baix un àngul sòlit de 1 sr, aproximadament.

L'àngul sòlit baix el qual es veu un conya esfèrica el radi de la qual es veu baix un àngul $\theta$ des del centre de l'esfera, és

$\Omega =2\pi (1-\cos \theta )$

Des d'un diedro rectàngul es veu baix un àngul sòlit de $\pi$ sr (un cantó interior d'una habitació).

Des d'un àngul triedro rectangular es veu baix un àngul sòlit de $\frac{\pi }{2}$ sr (una habitació vista del vèrtiç de l'àngul triedro format per un cantó i el sostre).

La volta celest comprén mig univers, és dir, un àngul sòlit $2\pi$ sr.

Des de qualsevol punt en l'espai, l'univers comprén un àngul sòlit de $4\pi$ sr.