Equacions de Euler-Lagrange

Dos curves de la família que tracta el principi d'acció estacionaria, que com s'observa en l'image és en essència un problema de càlcul de variacions. La curva q(t) és el camí real que seguix la partícula, mentres que q(t)+h(t) és un atre camí possible pero que no seguix perque no minimisa l'acció (naturalment, abdós camins coincidixen en els extrems de l'interval considerat)

Les equacions de Euler-Lagrange són les condicions baix les quals cert tipo de problema variacional alcança un extrem. Apareixen sobretot en el context de la mecànica clàssica en relació en el principi de mínima acció, també apareixen en teoria clàssica de camps (electromagnetisme i teoria general de la relativitat) i servix de base per a la formulació d'integrals de camí per a la teoria quàntica de camps.

Història

L'equació de Euler-Lagrange va ser desenrollada en 1750 per Euler i Lagrange com a solució al problema de la tautócrona (cas general de la braquistócrona): consistix en determinar la curva de la trayectòria que descriuria el descens en la que una partícula en massa cau a cert punt, en un temps donat, independent de la seua posició inicial.

Lagrange resoldria el problema en 1755 i enviaria la solució a Euler. Abdós desenrollarien encara més el método de Lagrange i ho aplicarien a problemes de mecànica; cosa que a la seua volta conduiria a formular per volta primera la mecànica lagrangiana. Dita correspondència també desembocaria en el desenroll del càlcul de variacions, un terme falcat pel mateix Euler en 1766.

Definició

L'equació de Euler–Lagrange és una equació la qual se satisfà en una funció, $𝒒$, en argument real $t$, el qual és un punt estacionario del funcional

$S(𝒒)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}L(t,𝒒(t),{𝒒}^{\prime }(t))\mathrm{d}t$

a on:

• $𝒒$ és la funció per a trobar:

$\begin{array}{cc}𝒒:[a,b]\subset ℝ& \to X\\ t& \mapsto x=𝒒(t)\end{array}$

tal que $𝒒$ és diferenciable, $𝒒(a)={𝒙}_a$, i $𝒒(b)={𝒙}_b$;

• ${𝒒}^{\prime }$; és la derivada de $𝒒$:

  $\begin{array}{cc}{q}^{\prime }:[a,b]& \to T_{q(t)}X\\ t& \mapsto v=q^{\prime }(t)\end{array}$

$T_{q(t)}X$ és l'espai tangente a $X$ en el punt $q(t)$.

• $L$ és una funció real en derivades parcials en continuïtat primera:

  $\begin{array}{cc}L:[a,b]\times TX& \to ℝ\\ (t,x,v)& \mapsto L(t,x,v).\end{array}$

$TX$ té fibrado tangente de $X$ definit per

$TX=\bigcup _{x\in X}\{x\}\times T_{x}X$ ;

Llavors, l'equació de Euler–Lagrange està donada per:

a on $L_x$ i $L_v$ són les derivades parcials de $L$ corresponents als arguments segon i tercer, respectivament.

Si la dimensió de $X$ és major a 1, és un sistema d'equacions diferencials, a on cada component és:

$\frac{\partial L}{\partial q_i}(t,𝒒(t),{𝒒}^{\prime }(t))-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}(t,𝒒(t),{𝒒}^{\prime }(t))=0\text{for }i=1,\dots ,n.$