Varietat plana

En matemàtiques, es diu que una varietat riemanniana és plana si la seua curvatura és zero en tot punt. Intuitivamente, una varietat plana és aquella que «s'assembla localment» a un espai euclídeo en térmens de distàncies i ànguls, per eixemple, que els ànguls interiors d'un triàngul sumen 180°.

El recubridor universal d'una varietat plana completa és un espai euclídeo. Açò pot usar-se per a provar la teorema de Bieberbach (1911) que diu que totes les varietats planes compactes estan finitamente recobertes per bous. El cas de dimensió 3 va ser provat abans per Schoenflies (1891).

Eixemples

Les següents varietats poden equipar-se en una mètrica plana. Note's que esta pugues no ser la seua mètrica estàndar (per eixemple, la mètrica plana del bou de dimensió 2 no és la mètrica induïda per la seua embebimiento usual en ${ℝ}^3$).

Dimensió 1

• La recta.
• La circumferència.

Dimensió 2

• El pla.
• El cilindre.
• La banda de Möbius.
• La botella de Klein.
• El bou de dimensió 2. Un bou pla pugues embeberse isométricamente en l'espai euclídeo de dimensió 3 en una aplicació C¹ a través del teorema d'immersió de Nash, pero no en una aplicació C², i el bou de Clifford proveïx un embebimiento isomètric analític del bou pla en quatre dimensions.

Existixen 17 orbifolds compactes de dimensió 2 en mètriques planes (incloent el bou i la botella de Klein), que es corresponen en els 17 grups de papers pintats o grups cristalográficos plans.

Dimensió 3

Existixen 6 eixemples compactes orientables i 4 no orientables de varietats planes, totes elles varietats de Seifert.

Dimensió major

• Espais euclídeos.
• Bous.
• Productes de varietats planes.
• Cocients de varietats planes per grups que actuen lliurement.

Vore també

• Forma espacial
• Grup espacial
• Varietat de Ricci-plana
• Varietat conformemente plana
• Varietat afí

Referències

• .

• .

• .

• Plantilla:Springer