Transformada de dispersió inversa

Archiu:Inverse scattering transform.png

L'algoritme de 3 passos: transformar la solució inicial en senyes de dispersió inicials, evolucionar les senyes de dispersió i transformar les senyes de dispersió evolucionats en la solució evolucionada.

En matemàtiques, la transformada de dispersió inversa en un método que resol el problema de valor inicial d'una equació en derivades parcials no llineal usant métodos matemàtics relacionats en la dispersió d'ones. La transformada de dispersió directa descriu cóm una funció dispersa ones o genera estats lligats. La transformada de dispersió inversa fa el procés opost usant l'informació del problema de dispersió per a construir la funció responsable d'esta. Les transformades de dispersió directa i inversa són anàlogues a les transformades de Fourier directes i inverses usades per a resoldre equacions en derivades parcials llineals.

Usant un parell d'operadors diferencials, es pot amprar un algoritme de 3 passos per a resoldre equacions diferencials no llineals. La solució inicial es transforma en informació de dispersió (la transformada de dispersió directa), l'informació de dispersió evoluciona en el temps desijat, i l'informació de dispersió reconstruïx la solució en eixe temps (la transformada de dispersió inversa).

Este algoritme simplifica el problema de resoldre una equació en derivades parcials no llineal en el de resoldre 2 equacions diferencials ordinàries llineals i una equació integral ordinària, la qual cosa du a l'obtenció de solucions analítiques para moltes equacions que serien complicades de resoldre d'una atra forma.

El problema de dispersió inversa és equivalent a un problema d'factorización de Riemann-Hilbert, a lo manco en el cas d'equacions en dimensió espacial 1. Esta formulació pot generalisar-se a operadors diferencials d'orde major que dos, aixina com a problemes periòdics. En dimensió espacial major, es té un problema d'factorización de Riemann-Hilbert no local (en convolución en lloc de multiplicació) o un problema DBAR.

Història

La transformada de dispersió inversa va sorgir de l'estudi d'ones solitàries. John Scott Russell va descriure una «ona de translació» o «ona solitària» ocorrent en aigües poc profundes. Primer Joseph Boussinesq i més vesprada Diederik Korteweg i Gustav de Vries varen descobrir l'equació de Korteweg-de Vries, una equació en derivades parcials no llineal que descriu aigües d'este tipo. Posteriorment, Norman Zabusky i Martin Kruskal, mentres usaven métodos numèrics per a investigar el problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou, varen descobrir que les ones solitàries tenien les propietats elàstiques de partícules que colisionen. L'amplitut i velocitat inicial i final de l'ona no canviava despuix de la colisió d'ones. Estes ones es varen cridar solitones, i ocorren en equacions no llineals per un equilibri dèbil entre efectes dispersivos i no llineals.

Gardner, Greene, Kruskal i Miura varen introduir la transformada de dispersió inversa per a resoldre l'equació de Korteweg-de Vries. Lax, Ablowitz, Kaup, Newell i Segur varen generalisar esta aproximació, lo que va dur a la resolució d'atres equacions no llineals, incloent l'equació de Schrödinger no llineal, l'equació de sine-Gordon, l'equació de Korteweg-de Vries modificada, l'equació de Kadomtsev-Petviashvili, l'equació de Ishimori, l'equació de ret de Tota i l'equació de Dym. També ha segut aplicat a atres tipos d'equacions no llineals, incloent icluyendo equacions en diferències, equacions multidimensionales i sistemes no llineals integrables fraccionarios.

Descripció

Equació en derivades parcials no llineal

Les variables independents són una variable espacial $x$ i una variable temporal $t$. Els subíndexs o els operadors diferencials (${\partial }_x,{\partial }_t$) indiquen derivació. La funció $u(x,t)$ és una solució d'una equació en derivades parcials no llineal, $u_t+N(u)=0$, en condició inicial $u(x,0)$.

Requisits

La solució de l'equació diferencial complix les condicions de integrabilidad i de Faddéyev:

Condició de integrabilidad:$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|u(x)|dx<\mathrm{\infty }$

Condició de Faddéyev: $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(1+|x|)|u(x)|dx<\mathrm{\infty }$

Parell d'operadors diferencials

Els operadors diferencials de Lax, $L$ i $M$, són operadors diferencials ordinaris llineals en coeficients que poden contindre la funció $u(x,t)$ o les seues derivades. l'operador autoadjunto $L$ té derivada temporal $L_t$ i genera una equació (espectral) de valors propis en funcions pròpies $\psi$ i valors propis constants en el temps (paràmetros espectrals) $\lambda$.

$L(\psi )=\lambda \psi ,$ and $L_t(\psi )\stackrel{def}{=}(L(\psi ){)}_t-L({\psi }_t)$

L'operador $M$ descriu cóm les funcions pròpies evolucionen en el temps, i genera una nova funció pròpia $\tilde{\psi }$ de l'operador $L$ a partir de la funció pròpia $\psi$ de $L$.

$\tilde{\psi }={\psi }_t-M(\psi )$

Els operadors de Lax es combinen per a formar un operador multiplicativo, no un operador diferencial, de les funcions pròpies $\psi$.

$(L_t+LM-ML)\psi =0$

Els operadors de Lax s'elegixen per a fer l'operador multiplicativo igual a l'equació diferencial no llineal.

$L_t+LM-ML=u_t+N(u)=0$

Els operadors diferencials AKNS, desenrollats per Ablowitz, Kaup, Newell i Segur, són una alternativa als operadors diferencials de Lax i obtenen un resultat similar.

Transformada de dispersió directa

La transformada de dispersió directa genera les senyes de dispersió inicials, que poden incloure coeficients de reflexió i de transmissió, valors propis i constants de normalisació de les funcions pròpies de l'equació diferencial:

$L(\psi )=\lambda \psi$

Evolució temporal de les senyes de dispersió

Les equacions que descriuen cóm evolucionen en el temps les senyes de dispersió són solucions d'una equació diferencial ordinària respecte del temps de primer orde. Usant distintes aproximacions, esta equació diferencial llineal pot sorgir dels operadors diferencials llineals (el parell de Lax, el parell AKNS...), d'una combinació dels operadors diferencials llineals i de l'equació no llineal, o a través d'operacions adicionals de substitució, integració o derivació. Les equacions per a les asíntotes espacials ($x\to \pm \mathrm{\infty }$) simplifiquen la resolució d'estes equacions diferencials.

Transformada de dispersió inversa

l'equació de Marchenko combina les senyes de dispersió en una equació integral de Fredholm llineal. La solució d'esta equació integral du a la solució o(x,t) de l'equació diferencial no llineal.

Vore també

• Método de dispersió inversa quàntica
• Sistema hamiltoniano integrable

Bibliografia

• (1973).Physical Review Letters.30(25)

1262–1264.doi:10.1103/PhysRevLett.30.1262.

• (1974).Studies in Applied Mathematics.53(4)

249–315.doi:10.1002/sapm1974534249.

• Ablowitz, Mark J.; Segur, {{{nom2}}} (1981). Solitons and the Inverse Scattering Transform (en en), SIAM. ISBN 978-0-89871-477-7.

• Ablowitz, Mark J.; Fokas, {{{nom2}}} (2003). Complex Variables: Introduction and Applications (en en), Cambridge University Press, pp. 604–620. ISBN 978-0-521-53429-1.

• (2023).Optik.278

170710.doi:10.1016/j.ijleo.2023.170710.

• Aktosun, Tuncay (2009). «Inverse Scattering Transform and the Theory of Solitons», Encyclopedia of Complexity and Systems Science (en en), Springer, pp. 4960–4971. doi:10.1007/978-0-387-30440-3_295. ISBN 978-0-387-30440-3.

• Drazin, P. G.; Johnson, {{{nom2}}} (1989). Solitons: An Introduction (en en), Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-33655-0.

• (1967).Physical Review Letters.19(19)

1095–1097.doi:10.1103/PhysRevLett.19.1095.

• Konopelchenko, B.G.; Dubrowsky, {{{nom2}}} (1991). «Localized solitons for the Ishimori equation», Sattinger (ed.). Inverse Scattering and Applications (en en), American Mathematical Soc., pp. 77–90. ISBN 978-0-8218-5129-6.

• Oono, H. (1996). «N-Soliton solution of Harry Dym equation by inverse scattering method.», Alfinito (ed.). Nonlinear Physics: Theory and Experiment (en en), World Scientific Publishing Company Pte Limited, pp. 241–248. ISBN 978-981-02-2559-9.

• (1995).Physica D: Nonlinear Phenomena.86(1)

81–89.ISSN 0167-2789.doi:10.1016/0167-2789(95)00089-M.

Bibliografia adicional

• Ablowitz, Mark J.; Clarkson, {{{nom2}}} (1991-12-12). Solitons, Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering (en en), Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38730-9.

• Bullough, R. K.; Caudrey, {{{nom2}}} (2013-11-11). Solitons (en en), Springer Science & Business Mija. ISBN 978-3-642-81448-8.

• Gelʹfand (1955). On the Determination of a Differential Equation from Its Spectral Function (en en), American Mathematical Society, p. 253-304.

• Marchenko, Vladimir A. (1986). Sturm-Liouville Operators and Applications (en en), Basel: Birkhäuser. doi:10.1007/978-3-0348-5485-6. ISBN 978-3-0348-5486-3.

• Shaw (1 May 2004). Mathematical Principles of Optical Fiber Communication (en en), SIAM. ISBN 978-0-89871-556-9.