Problema de Riemann-Hilbert

Per al problema original de Hilbert sobre l'existència d'equacions diferencials, tenint un grup de monodromía determinat, vore problema de Hilbert XXI.

En matemàtica, els problemes de Riemann–Hilbert, nomenat en honor a Bernhard Riemann i David Hilbert, són una classe de problemes que es plantegen, entre atres coses, durant l'estudi d'equacions diferencials en el pla complex. S'han produït varis teorema d'existència per als problemes de Riemann–Hilbert per Krein, Gohberg i uns atres (vore el llibre de Clancey i Gohberg (1981)).

El problema de Riemann

Supongam que Σ és un contorn tancat simple en el pla complex dividint el pla en dos parts per Σ₊ (interior) i Σ₋ (l'exterior), determinat pel índex del contorn respecte a un punt. El problema clàssic, considerat en la tesis de Riemann (vore Pandey (1996)), va anar el de trobar una funció

$M_{+}(z)=u(z)+iv(z)$

analítica dins de Σ₊ tal que els valores llímit de M₊ a lo llarc de Σ satisfaciese l'equació

$a(z)u(z)-b(z)v(z)=c(z)$

per a tots els z  ∈   Σ, a on a, b i c són funcions reals Plantilla:Harv.

Pel teorema de la funció de Riemann, és suficient considerar el cas quan Σ és el círcul unitat Plantilla:Harv. En este cas, un pot buscar M₊(z) junt en el seu reflexió Schwarz:

$M_{-}(z)=\overline{M_{+}\left({\overline{z}}^{-1}\right)}.$

En la Σ del círcul d'unitat, es té $z=1/\overline{z}$ i aixina

$M_{-}(z)=\overline{M_{+}(z)},z\in \Sigma .$

Per lo tant, el problema es reduïx a trobar un parell de funcions M₊(z) i M₋ (z) analítica, respectivament, en l'interior i l'exterior del disc de l'unitat, per a que en el círcul unitari

$\frac{a(z)+ib(z)}{2}{M}_{+}(z)+\frac{a(z)-ib(z)}{2}{M}_{-}(z)=c(z),$

i, ademés, per lo que sosté la condició en l'infinit:

$\underset{z\to \mathrm{\infty }}{\lim }{M}_{-}(z)={\overline{M}}_{+}(0).$

El problema de Hilbert

La generalisació de Hilbert va ser considerar el problema d'intentar trobar M₊ i M_- analítica, respectivament, en l'interior i fòra de la curva Σ, tal que en Σ es tinga

$\alpha (z)M_{+}(z)+\beta (z)M_{-}(z)=c(z)$

a on α, β i c són funcions complexes arbitràries donades (ya no només complex conjugades).

Referències

• (1999).«On the distribution of the length of the longest increasing subsequence of random permutations».J. Amer. Math. Soc..12

1119–1178..

• Plantilla:Springer

• (1981).«Factorization of matrix functions and singular integral operators».Birkhäuser Verlag.3.

• (1999).«Orthogonal Polynomials and Random Matrius».AMS..

• (1997).«New Results in Small Dispersion KdV by an Extension of the Steepest Descent Method for Riemann–Hilbert Problems».

286–299..

• (1993).«A Steepest Descent Method for Oscillatory Riemann–Hilbert Problems; Asymptotics for the MKdV Equation».Ann. of Math. (2).137(2)

295–368..

• Plantilla:Springer.

• (1982).«Asymptotics of Solutions of the Nonlinear Schrödinger Equation and Isomonodromic Deformations of Systems of Linear Differential Equations».Soviet Mathematics Doklady.24(3)

14–18..

• (2003).«The Riemann–Hilbert Problem and Integrable Systems».Notices of the AMS.50(11)

1389–1400..

• (2003).«Semiclassical Soliton Ensembles for the Focusing Nonlinear Schrödinger Equation».Princeton University Press.(Study 154).

• (2005).«Existence and Regularity for an Energy Maximization Problem in Two Dimensions».J.Math.Phys.46(8)

083505..

• (2012).«Long-clave asymptotics of the periodic Tota lattice under short-range perturbations».J.Math.Phys.53(7)

073706..

• (1983).«The Zero Dispersion Limit for the KdV Equation I-III».Communications on Pure and Applied Mathematics.36

253–290, 571–593, 809–829..

• (1974).«Nonlinear Frauenhofer diffraction».Sov. Phys. JETP.38

693–696..

• (1996).«The Hilbert transform of Schwartz distributions and applications».Wiley-Interscience..