Ret de Tota

La ret de Tota, introduïda per Morikazu Tota en 1967, és un model senzill per a un cristal unidimensional en física de l'estat sòlit. Consistix en una cadena de partícules que la seua interacció a primers veïns ve donada per les equacions del moviment

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dt}p(n,t)& =e^{-(q(n,t)-q(n-1,t))}-e^{-(q(n+1,t)-q(n,t))},\\ \frac{d}{dt}q(n,t)& =p(n,t),\end{array}$

a on $q(n,t)$és el desplaçament de la partícula $n$-ésima de la seua posició d'equilibri, i $p(n,t)$és el seu moment (massa $m=1$).

Integrabilidad

La ret de Tota és un eixemple prototípico de sistema completament integrable en solucions de solitones. Per a vore açò es poden utilisar les variables de Flaschka,

$a(n,t)=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-(q(n+1,t)-q(n,t))/2},b(n,t)=-\frac{1}{2}p(n,t)$

de manera que les equacions de Tota resulten

$\begin{array}{cc}\dot{a}(n,t)& =a(n,t)(b(n+1,t)-b(n,t)),\\ \dot{b}(n,t)& =2(a(n,t{)}^2-a(n-1,t{)}^2).\end{array}$

Es pot comprovar que la ret de Tota és equivalent a l'equació de Lax

$\frac{d}{dt}L(t)=[P(t),L(t)]$

a on [L, P] = LP - PL és el commutador de dos operadors. Els operadors L i P, el parell de Lax del sistema, són operadors llineals en l'espai de Hilbert de successions de quadrats sumables ${\ell }^2(\mathbb{Z})$

$\begin{array}{cc}L(t)f(n)& =a(n,t)f(n+1)+a(n-1,t)f(n-1)+b(n,t)f(n),\\ P(t)f(n)& =a(n,t)f(n+1)-a(n-1,t)f(n-1).\end{array}$

La matriu $L(t)$té la propietat de que els seus valors propis són invariantes temporals. Estos valors propis constituïxen integrals del moviment independents, per tant la ret de Tota és completament integrable. En particular, la ret de Tota es pot resoldre a través de la transformada de dispersió inversa per al operador de Jacobi L. El principal resultat implica que per a condicions inicials arbitràries que decauen lo suficientment ràpit, estes se separen asintóticamente per a t grans en una suma de solitones i una part dispersiva que decau.