Operador de Jacobi

Un operador de Jacobi, també cridat matriu de Jacobi, és un operador llineal simètric que actua sobre successions, donat per una matriu tridiagonal infinita. Se sol usar per a determinar sistemes de polinomis ortonormals con respecto de una mida de Borel positiva i finita. Du el nom de Carl Gustav Jakob Jacobi.

El nom prové d'una teorema de Jacobi, que data de 1848 i establix que tota matriu simètrica sobre un domini d'ideals principals és congruent a una matriu tridiagonal.

Operadors de Jacobi autoadjuntos

El cas més important és el dels operadors de Jacobi autoadjuntos que actuen sobre l'espai de Hilbert de les successions de quadrat sumable sobre els sancers positius ${\ell }^2(\mathbb{N})$. Este tipo d'operadors vénen daus per:

$J{f}_0=a_0{f}_1+b_0{f}_0,J{f}_n=a_n{f}_{n+1}+b_n{f}_n+a_{n-1}{f}_{n-1},n>0,$

a on els coeficients es prenen de tal manera que

$a_n>0,b_n\in ℝ.$

L'operador serà acotat si i solament si els coeficients estan acotats.

Este tipo d'operador presenta estretes conexions en la teoria dels polinomis ortogonals. De fet, la solució $p_n(x)$ de la relació de recurrencia

$J{p}_n(x)=x{p}_n(x),p_0(x)=1\text{ and }{p}_{-1}(x)=0,$

és un polinomi de grau n. Ademés, estos polinomis formen un conjunt ortonormal con respecto de la mida espectral corresponent al primer vector de la base, ${\delta }_{1,n}$.

Esta relació de recurrencia també es pot escriure com:

$x{p}_n(x)=a_{n+1}{p}_{n+1}(x)+b_n{p}_n(x)+a_n{p}_{n-1}(x)$

Aplicacions

Sorgix en moltes àrees de les matemàtiques i la física. El cas a(n) = 1 es coneix com l'operador de Schrödinger unidimensional discret. També apareix en:

• El parell de Lax de la ret de Tota.
• La relació de recurrencia de tres térmens de polinomis ortogonals sobre una mida de Borel positiva i finita.
• Algoritmes ideats per a calcular regles de quadratura de Gauss, derivades de sistemes de polinomis ortogonals.