Teorema de l'identitat

En anàlisis complex i en anàlisis real, dos branques de les matemàtiques, la teorema de l'identitat dona una condició suficient per a assegurar l'igualtat de funcions analítiques (és dir, que coincidixen localment en les seues series de Taylor) en dominis (conjunts oberts conexos). A saber, si dos funcions analítiques $f,g$ en un conjunt obert i conexo $D$ (de $ℝ$ o de $ℂ$) coincidixen en un subconjunt $S\subseteq D$ que té un punt d'acumulació, llavors deuen coincidir en tot el domini $D$.

Aixina, una funció analítica queda unívocament determinada pels seus valors en qualsevol obert de $D$, per chicotet que siga, puix té punts d'acumulació, o inclús per un subconjunt contable de $D$, sempre i quan este continga una successió convergent a un punt de $D$. Informalmente, la teorema se sol resumir dient que les funcions analítiques són "rígides", en oposició a, per eixemple, les funcions contínues, que són més "flexibles", puix no basta un conjunt "tan menut" de punts per a determinar-les.

La teorema té especial importància en el context de l'anàlisis complex perque les funcions holomorfas (l'equivalent complex de les funcions derivables) són immediatament analítiques (vore la demostració d'açò ací). Aixina, tota funció holomorfa en un conjunt obert conexo queda unívocament determinada per l'image d'un conjunt en un punt d'acumulació. El resultat anàlec en anàlisis real no és cert, ni tan sols per a funcions infinitament derivables, puix estes no tenen per qué coincidir localment en les seues séries de Taylor (és dir, no tenen per qué ser analítiques) i no se'ls pot aplicar la teorema de l'identitat.

Per un atre costat, és necessari que el domini $D$ siga conexo. Per eixemple, si $D$ és l'unió de dos oberts disjuntos (després no conexo), $f$ pot valdre $0$ en un i $1$ en l'atre, i $g$ valdre $0$ en un i $2$ en l'atre. Abdós funcions són analítiques (perque són constants en cada obert) i coincidixen en un conjunt (el primer obert) que té punts d'acumulació. No obstant, $f$ i $g$ són funcions distintes.

Enunciat

Siguen $f$ i $g$ funcions analítiques definides en un conjunt obert i conexo $D$ (ya siga de $ℝ$ o de $ℂ$). Siga $S=\{z\in U:f(z)=g(z)\}$ el conjunt de punts a on coincidixen. Si $S$ té un punt d'acumulació $z_0$ dins de $D$, llavors $f$ i $g$ coincidixen en tot $D$ o, lo que és lo mateix, $S=D$.

Demostració

Basta demostrar el cas en el que una de les funcions (digam $g$) és nula. El cas general es deduïx com seguix: prenem la funció $f-g$ (analítica per ser resta d'analítiques) i la funció idénticamente nula. Si $f$ coincidix en $g$ en un conjunt $S$ en un punt d'acumulació en $D$, també ho fan $f-g$ i la funció 0. Pel cas que anem a demostrar, $f-g=0$ en tot $D$, i concloem que $f=g$ en $D$.

Ara, siga $z_0\in D$ un punt d'acumulació de $S=\{z\in D:f(z)=0\}$ (que sabem que existix per hipòtesis). Existix llavors una successió $(w_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$ de punts de $S$ distints de $z_0$ que convergix cap a $z_0$. En $S$, la funció $f$ coincidix per hipòtesis en la funció nula, per lo que, per a cada $k\in \mathbb{N}$, tenim que $f(w_k)=0$.

Primer anem a demostrar que $f$ és idénticamente nula en un disc suficientment chicotet que conté el punt d'acumulació $z_0$. Per a això, vàrem escomençar prenent $B$ un disc centrat en $z_0$ totalment contingut en $D$ en el que $f$ coincidix en una série de potències (podem perque $f$ és analítica i $D$ és obert):

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-z_0{)}^n\mathrm{\forall }z\in B$.

Vejam que $f$ s'anula en tot el disc $B$. Buscant una contradicció, supongam que $f$ no fora idénticamente nula en el disc. Llavors tindria que existir el menor sancer $m$ per al qual $a_m\ne 0$. Podríem factorizar $f$ en el disc com

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-z_0{)}^n=\sum _{n=m}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-z_0{)}^n=a_m(z-z_0{)}^m(1+\sum _{n=m+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{a_m}(z-z_0{)}^{n-m})=:a_m(z-z_0{)}^m(1+g(z-z_0))$.

Observem que $1+g(z_0-z_0)=1\ne 0$, per lo que en un entorn de $z_0$ la funció $1+g(z-z_0)$ no s'anularia (puix $1+g(z-z_0)$ és analítica i, per tant, contínua). Pero ara, prenent la successió de punts $(w_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$ distints de $z_0$, que convergia a $z_0$, tindríem que

1. $a_m(w_k-z_0{)}^m\ne 0$, puix els punts $w_k$ són sempre distints de $z_0$, i
2. $1+g(w_k-z_0)\ne 0$ per a $k$ suficientment gran, puix, en convergir cap a $z_0$, hi ha un moment a partir del que la successió de $w_k$ entra en l'entorn de $z_0$ a on $1+g(z-z_0)$ no s'anula.

Aixina que, $f(w_k)\ne 0$ per a $k$ suficientment gran, per l'igualtat de dalt. Pero havíem pres $w_k$ de manera que $f(w_k)=0\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}$. Açò és una contradicció, i prové de supondre que $f$ no era idénticamente nula en el disc.

En lo anterior hem vist que $S$ té interior no buit (tot el disc $B$ està en $S$, i l'interior d'un disc és no buit). Ara, siga $S^{\circ }$ l'interior (no buit) de $S$; per ser l'interior d'un conjunt és obert. Si veem que $S^{\circ }$ és tancat, haurem acabat: en efecte, seria un subconjunt clopen del conjunt conexo $D$ i, com a tal, només podria ser el buit o el total. Com no és buit, concloem que $S^{\circ }=D$, de manera que també $S=D$. Per definició de $S$, tenim que $f(z)=0\mathrm{\forall }z\in D$, que és lo volíem demostrar.

Per a vore que $U$ és tancat, considerem una successió $(z_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ de punts de $S^{\circ }$ que convergixca a un cert $z$ i vejam que $z\in S^{\circ }$. Tenim que $f(z_n)=0$ para tot $n$, puix $z_n\in S^{\circ }\subseteq S$, i eixa és la definició de $S$. Per continuïtat de $f$, tenim que $f(z)=0$, d'a on $z\in S$. Per a vore que $z$ és un punt interior de $S$ podem usar l'argument anterior per a demostrar que $f$ s'anula en tot un disc al voltant de $z$. Aixina, hi ha tot un disc al voltant de $z$ que també està contingut en $S$, de manera que $z\in S^{\circ }$, com volíem. $◻$

Bibliografia

• Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2003). Complex Analysis (en anglés), Princeton University Press. ISBN 0-691-11385-8.