Suficientment gran

En les àrees matemàtiques de la teoria de números i del anàlisis, es diu que una successió o funció infinita posseïx certa propietat a partir d'una instància suficientment gran, si no té dita propietat en tots els seus elements ordenats, pero la tindrà despuix d'haver sobrepassat una determinada instància, i també es pot estendre a la classe de propietats que s'apliquen als elements de qualsevol conjunt ordenat (com a seqüències i subconjunts de $ℝ$).

En anglés, per a expressar este concepte, s'utilisa en ocasions el terme "eventually", en el significat de que una série d'elements ordenats complixen un determinat criteri finalment a partir d'un element donat de la seqüència.

Notació

La forma general a on es troba l'expressió suficientment gran apareix de la següent manera:

$P$ és verdader per a $x$ suficientment gran

a on $\mathrm{\forall }$ i $\mathrm{\exists }$ són un quantificador universal i un quantificador d'existència, que en realitat són una forma abreviada de:

$\mathrm{\exists }a\in ℝ$ tal que $P$ és verdader $\mathrm{\forall }x\ge a$

o alguna cosa més formalment:

$\mathrm{\exists }a\in ℝ:\mathrm{\forall }x\in ℝ:x\ge a\Rightarrow P(x)$

Açò no significa necessàriament que es conega cap valor particular per a $a$, sino solament que tal $a$ existix. L'expressió suficientment gran no deu confondre's en els térmens arbitrariamente gran o infinitament gran. Per a obtindre més informació al respecte, vore arbitrariamente gran.

Motivació i definició

Per a una seqüència infinita, a sovint s'està més interessat en el comportament a llarc determini de la seqüència que en els comportaments que exhibix al principi. En el cas del qual, una forma de capturar formalment este concepte és dir que la seqüència posseïx una certa propietat a partir d'un terme suficientment gran, o de manera equivalent, que la propietat se satisfà en determinades subsucesionestals que $(a_n{)}_{n\ge N}$, per a alguns $N\in \mathbb{N}$.

Per eixemple, la definició d'una seqüència de número real $(a_n)$ que convergixen a algun llímit $a$ és:

Per a cada número positiu $\epsilon$, existix un número natural $N$ tal que para tot $n>N$, $|a_n-a|<\epsilon$.

Quan l'expressió existix un $N$ suficientment gran s'usa com a abreviatura de existix un número natural $N$ tal que para tot $n>N$", la definició de convergència es pot reformular de manera més simple com:

Per cada número positiu $\epsilon >0$, $|a_n-a|<\epsilon$ per a un n suficientment gran.

Ací s'observa que el conjunt dels número natural que no satisfan esta propietat és un conjunt finito; és dir, és un conjunt buit o té un element màxim. Com a resultat, l'us de suficientment gran en este cas és sinònim de l'expressió per a tots menys per a un número finito de térmens: un cas especial de l'expressió per a casi tots els térmens (encara que casi tots també es pot usar per a permetre infinites excepcions també).

En el nivell bàsic, es pot pensar en una seqüència com una funció en número natural com el seu domini, i la noció de suficientment gran també s'aplica a funcions en conjunts més generals, en particular a aquelles que tenen un orde sense un element major que tots els demés.

Més específicament, si $S$ és un conjunt d'este tipo i hi ha un element $s$ en $S$ tal que la funció $f$ està definida per a tots els elements majors que $s$, llavors es diu que $f$ té alguna propietat si hi ha un element $x_0$ suficientment gran tal que sempre que $x>x_0$, $f(x)$ té dita propietat. Esta noció s'utilisa, per eixemple, en l'estudi dels cossos de Hardy, que són cossos formats per funcions reals, cada una de les quals té certes propietats a partir de determinats valors suficientment grans.

Eixemples

• "Tots els número primo majors que 2 són impars" es pot escriure com "A partir d'un valor donat, tots els número primo són impar" (lo que és cert per a tots els cosins majors que 2).
• A partir d'un valor donat, tots els número primo són congruents a ±1 mòdul 6.
• El quadrat d'un cosí a partir d'un valor donat és congruent en 1 mod 24 (específicament, açò és cert per a tots els cosins majors que 3).
• El factorial d'un número natural a partir d'un valor donat termina en el dígit 0 (específicament, açò és cert per a tots els número natural majors que 4).

Implicacions

Quan una seqüència o funció té una propietat a partir d'un valor suficientment gran, pot tindre implicacions útils en el context de la demostració d'alguna propietat en relació en eixa seqüència. Per eixemple, en el context del anàlisis asintòtic de certes funcions, pot ser útil saber si es comporta a partir d'un valor suficientment gran de manera diferent a lo que seria o podria observar-se computacionalment-

El terme finalment també es pot incorporar en moltes definicions matemàtiques per a fer-les més concisas, com en el cas d'alguns tipos de llímits o cotes superiors per a descriure un comportament asintòtic.

Atres usos en matemàtiques

Es diu que una 3-varietat és suficientment gran si conté una superfície incompresible de dos costats pròpiament embebida. Esta propietat és el requisit principal per a que una 3-varietat es denomine varietat de Haken.

• En llògica temporal existix un operador que es pot usar per a expressar declaracions que es poden interpretar com: Certa propietat finalment es mantindrà en un moment futur.

Vore també

• Casi tots (matemàtiques)
• Cota superior asintòtica
• Gerga matemàtica
• Teoria de números