Partícula en una caixa

Archiu:2D Wavefunction (1,2) Surface Plot.png

Funció d'ona per a una partícula tancada en una caixa bidimensional, les llínees de nivell sobre el pla inferior estan relacionades en la provabilitat de presència.

En física, la partícula en una caixa (també coneguda com a pou de potencial infinit) és un problema molt simple que consistix d'una sola partícula que rebota dins d'una caixa immòvil de la qual no pot escapar, i a on no pert energia en colisionar contra les seues parets.

En mecànica clàssica, la solució al problema és trivial: la partícula es mou en una llínea recta a una velocitat constant fins que rebota en una de les parets. En rebotar, la velocitat canvia de sentit canviant de signe la component paralela a la direcció perpendicular a la paret i mantenint-se la velocitat paralela a la paret, no obstant, no hi ha canvi en el mòdul de la mateixa velocitat.

Descripció quàntica del problema

El problema es torna molt interessant quan s'intenta resoldre dins de la mecànica quàntica, ya que és necessari introduir molts dels conceptes importants d'esta disciplina per a trobar una solució. No obstant, aixina i tot és un problema simple en una solució definida. Este artícul es concentra en la solució dins de la mecànica quàntica.

El problema pot plantejar-se en qualsevol número de dimensions, pero el més simple és el problema unidimensional, mentres que el més útil és el que se centra en una caixa tridimensional. En una dimensió, es representa per una partícula que existix en un segment d'una llínea, sent les parets els punts finals del segment.

En térmens de la física, la partícula en una caixa es definix com una partícula puntual, tancada en una caixa a on no experimenta cap tipo de força (és dir, la seua energia potencial és constant, encara que sense pèrdua de generalitat podem considerar que val zero). En les parets de la caixa, el potencial aumenta fins a un valor infinit, fent-la impenetrable. Usant esta descripció en térmens de potencials nos permet usar l'equació de Schrödinger per a determinar una solució.

Archiu:Infinite potential well.svg

Esquema del potencial per a la caixa unidimensional

Com es menciona més dalt, si estiguérem estudiant el problema baix les regles de la mecànica clàssica, deuríem aplicar les lleis del moviment de Newton a les condicions inicials, i el resultat seria raonable i intuïtiu. En mecànica quàntica, quan s'aplica l'equació de Schrödinger, els resultats no són intuïtius. En primer lloc, la partícula solament pot tindre certs nivells d'energia específics, i el nivell zero no és un d'ells. En segon lloc, les provabilitats de detectar la partícula dins de la caixa en cada nivell específic d'energia no són uniformes - existixen vàries posicions dins de la caixa a on la partícula pot ser trobada, pero també hi ha posicions a on és impossible fer-ho. Abdós resultats diferixen de la manera usual en la que percebem al món, inclús si estan fonamentats per principis extensivamente verificats a través d'experiments.

Caixa unidimensional

La versió més senzilla es dona en la situació idealizada d'una "caixa monodimensional", en la que la partícula de massa m pot ocupar qualsevol posició en l'interval [0,L]. Per a trobar els possibles estats estacionarios és necessari plantejar l'equació de Schrödinger independent del temps en una dimensió per al problema. Considerant que el potencial és zero dins de la caixa i infinit fòra, l'equació de Schrödinger dins de la caixa és:

en les següents condicions de contorn, conseqüència que la funció d'ona s'anula fòra de la caixa

i a on

$\hslash$ és la constant reduïda de Planck,

$m$ és la massa de la partícula,

$\psi \left(x\right)$ és la funció d'ona estacionaria independent del temps que volem obtindre (autofunciones) i

$E$ és l'energia de la partícula (autovalor).

Les autofunciones i autovalores d'una partícula de massa m en una caixa monodimensional de llongitut L són:

Archiu:Particle in a box wavefunctions.svg

Nivells d'energia (llínees discontínues) i funcions d'ona (llínees contínues) de la partícula en una caixa monodimensional

Note's que solament són possibles els nivells d'energia "cuantizados". Ademés, com a n no pot ser zero (vore més alvance), el menor valor de l'energia tampoc pot ser-ho. Esta energia mínima es diu energia del punt zero i es justifica en térmens del principi d'incertitut. Degut a que la partícula es troba restringida a moure's en una regió finita, la varianza de la posició té un llímit superior (la llongitut de la caixa, $L$). Aixina, d'acort en el principi d'incertitut, la varianza del moment de la partícula no pot ser zero i, per tant, la partícula deu tindre una certa cantitat d'energia que aumenta quan la llongitut de la caixa L disminuïx.

Deducció

A continuació ilustrem la deducció dels anteriors valors de l'energia i forma de les funcions d'ona pel seu valor didàctic. L'equació de Schrödinger anterior és una equació diferencial llineal de segon orde en coeficients constants, la solució general dels quals és:

A on, A i B són, en general, número complejo que deuran triar-se per a complir les condicions de contorn. Per una atra part el número k es coneix com número i és un número real, en ser-ho I. Per un atre costat, la solució particular del problema (1) s'obté imponent les condicions de contorn apropiades, lo que permet obtindre els valors de A i B. Si considerem la primera de les condicions de contorn, $\psi (0)=0$, llavors $B=0$ (degut a que $\sin (0)=0$ i $\cos (0)=1$). Per tant, la funció d'ona deu tindre la forma:

i en $x=L$ s'obté:

La solució trivial és $A=0$, que implica que $\psi =0$ en qualsevol lloc (és dir, la partícula no està en la caixa). Si $A\ne 0$ llavors $\sin (kL)=0$ si i solament si:

El valor $n=0$ s'elimina perque, en este cas, $\psi =0$ en qualsevol lloc, lo que correspon en el cas en el que la partícula no està en la caixa. Els valors negatius també s'ometen, degut a que la funció d'ona està definida llevat una fase conseqüència de que la densitat de provabilitat, representada pel quadrat de la funció d'ona ${\psi }^{*}\psi$, és independent del valor de dita fase. En este cas, els valors negatius de $n$ suponen un mer canvi de signe de $\sin (nx)$ i, per tant, no representen nous estats.

El següent pas és obtindre la constant $A$ per ad açò tenim que normalisar la funció d'ona. Com sabem que la partícula es troba en algun lloc de l'espai, i com $|\psi (x){|}^2$ representa la provabilitat de trobar la partícula en un determinat punt de l'espai (densitat de provabilitat), l'integral de la densitat de provabilitat en tot l'espai $x$ deu ser igual a 1:

D'ací es deduïx que A és qualsevol número complejo en valor absolut $\sqrt{(2/L)}$; tots els valors diferents de A proporcionen el mateix estat físic, per lo que elegirem per simplicitat el valor real $A=\sqrt{(2/L)}$.

Per últim, substituint estos resultats en la solució general obtenim el conjunt complet de autofunciones i energies per al problema de la partícula en una caixa monodimensional, resumit en (1b).