Partícula en un anell

La partícula en un anell és un eixemple senzill de sistema quàntic en propietats interessants. Este model reproduïx les característiques hipotètiques d'una partícula lliure que es mou solament a lo llarc d'un anell (espai topològic homeomorfo a S¹) i de manera uniforme. Ademés el model ací presentat ha trobat aplicació en explicar la regla de Hückel sobre l'estabilitat dels hidrocarburs aromàtics.

Descripció quàntica del sistema

Suponem una partícula que es mou lliurement a lo llarc d'un anell. La relació entre la coordenada de posició angular sobre l'anell i les coordenades cartesianas és:

a on $R^2=x^2+y^2$. Els operadors de moment llineal vénen daus per:

Utilisant la forma funcional de l'energia (clàssica) en térmens del moment llineal:

podem obtindre l'expressió de l'operador hamiltoniano:

Operador hamiltoniano

Per a obtindre les funciones d'ona, $\tilde{\psi }(x,y)$, dels estats estacionarios del sistema, tenim que resoldre l'equació de Schrödinger independent del temps:

a on I és el valor de l'energia de l'estat, que per ser estacionario estarà perfectament ben definida. Per a això és convenient transformar l'expressió del hamiltoniano de coordenades cartesianas, $\tilde{\psi }(x,y)$ a coordenades polars, $\psi (R,\phi )$:

Per al cas d'una partícula en un anell R és una constant i, per tant, per a obtindre les funcions pròpies del Hamiltoniano,

tenim que resoldre l'equació de Schrödinger independent del temps expressada en térmens de la variable $\phi$:

a on $I=m{R}^2$ representa el moment d'inèrcia de la partícula.

Solucions de l'equació de Schrödinger

Els possibles estats estacionarios del sistema són les solucions de l'equació anterior, equació (1). Per un atre costat, qualsevol estat no estacionario serà combinació d'estats estacionarios de diferent energia. Com a candidats canònics per a representar els estats estacionarios cal triar funcions pròpies del hamiltoniano que, per tant, deuen ser solució de l'equació (1). En un sistema quàntic, poden existir varis estats estacionarios en un mateix valor de l'energia, tal i com ocorre en el cas de la partícula en un anell. Quan açò succeïx es diu que dit nivell d'energia presenta degeneració (un terme poc explicatiu que es va introduir per motius històrics relacionats en l'àtom d'hidrogen, pero que ha segut mantingut a pesar de ser poc explicatiu).

Pot verificar-se fàcilment que les funcions trigonométricas, sen i coseno, són solucions de l'equació de Schrödinger, equació (1). Análogamente les exponencials són solucions de l'equació (1). En la finalitat de que ademés siguen funcions pròpies de l'operador moment angular elegirem estes últimes:

Substituyendo eixes funciones candidates en l'equació (1), s'obté el valor necessari de k per a que qualsevol de les dos siga solució:

Per lo tant, les funcions pròpies són:

Com veem, les solucions són realment exponencials complexes. La solució general corresponent a la funció (o vector) d'estat s'obté, per tant, com una combinació llineal d'abdós funcions:

Número quàntic principal

Per a simplificar, definim una constant matemàtica n que anem a cridar simplement número quàntic principal com:

De nou, tindrem que impondre una condició per a que la meua funció es comporte ben (a well-behaved function). En este cas, la funció d'ona té que ser contínua en tots els seus punts i, per tant, en donar un regrés complet en l'anell té que tindre el mateix valor. Aixina es té que complir la següent condició de periodicitat:

Com anem a vore la condició de periodicitat no es dona per a qualsevol valor del número quàntic n. Com estem interessats solament en els estats estacionarios que complixen la condició de periodicitat i, per tant, representen adequadament les restriccions físiques del problema, devem examinar qué valors de n satisfan la condició de periodicitat. Aixina, tenim:

Que se satisfà si es complix simultàneament

Utilisant la fòrmula de Euler obtenim:

o lo que és lo mateix,

De l'última equació concloem que solament els valors sancers de n satisfan l'equació, és dir, que els possibles valors del número quàntic principal són n = 0, 1, 2, 3... i n = -1, -2, -3... És interessant notar que com a conseqüència d'exigir la condició de periodicitat l'energia del sistema està cuantizada:

Degeneració

El número quàntic n pot prendre, en este cas, el valor 0, degut a que no s'anula la funció d'ona en l'espai. Per una atra part per a dos números quàntics que siguen iguals i oposts, obtenim la mateixa energia (en dependre l'energia de n al quadrat). Es diu que abdós estats d'energia definida estan degenerados (és dir, existixen varis estats en la mateixa energia). No obstant, eixos estats de mateixa energia no són del tot idèntics com vorem, ya que sobre ells podem medir atres magnituts físiques (observables) diferents de l'energia i podem vore que tiren valors diferents, la qual cosa significa que existix un procediment físic per a distinguir entre estats "degenerados" de la mateixa energia. Açò es pot comprovar introduint el moment angular.

Moment angular

A continuació calcularem el valor del moment angular de la partícula, és dir, aplicarem l'operador ${\hat{L}}_z$ per a vore si les solucions obtingudes tenen un moment angular ben definit. A partir de les expressions clàssiques podem obtindre l'operador corresponent:

Construïm el corresponent operador quàntic:

i comprovarem si es complix l'equació de autovalores

En efecte, podem vore que la solució general no té un moment angular definit, ya que no és una funció pròpia de ${\hat{L}}_z$

No obstant degut a que ${\hat{L}}_z$ commuta en ${\hat{H}}_{\phi }$, podem trobar un conjunt de funcions pròpies comuna a abdós operadors. Aixina, les funcions ${\psi }_1$ i ${\psi }_2$ definides anteriorment en l'equació (2), si són funcions pròpies del moment angular. En efecte, si $B=0$

es comprova que existix un subconjunt de funcions pròpies comuna:

Análogamente si $A=0$ obtenim

En esta magnitut es poden distinguir els dos estats degenerados en l'energia degut a que tenen distint valor de moment angular. Note's que ${\psi }_1$ representa una partícula movent-se en l'anell en el sentit antihorario, mentres que ${\psi }_2$ representa la partícula movent-se en el sentit horari. Note's també que l'estat fonamental correspon en $n=0$ i representa una partícula en energia i moment angular nul. Clásicamente correspon en una partícula en repòs.

Normalisació dels estats propis de moment angular

Per últim, per a determinar el valor de $A_n$ (o de $B_n$), utilisarem la condició de normalisació, conseqüència de l'interpretació provabilística de la funció d'ona. Per a això tindrem en conte que la provabilitat de trobar la partícula en l'anell és l'unitat:

Com la densitat de provabilitat és constant en tot l'anell

la constant de normalisació $A$ val

En la qual cosa la funció d'ona normalisada és:

Habitualment s'elegix la constant de normalisació real (és dir s'elegix la seua fase nula, $\beta =0$).

Aixina, segons l'equació (3), la densitat de provabilitat val

resultat que concorda en el cas clàssic.

Estats estacionarios generals del sistema

Pot comprovar-se que qualsevol atre estat estacionario del sistema té la forma:

Este estat té la propietat interessant de que a pesar de que té una energia ben definida, el seu moment angular L_z no està ben definit, sino que una mida d'eixa magnitut en una provabilitat p₁ dona el valor +nh/2π i en una provabilitat p₂ dona el valor -nh/2π, complint-se ademés: