Operador densament definit

En matemàtiques, i més específicament en teoria d'operadors, un operador densament definit o un operador parcialment definit és un tipo de funció parcialment definit. Des del punt de vista topològic, és una aplicació llineal que es definix "casi en tots els llocs". Els operadors densament definits a sovint sorgixen en anàlisis funcional com a operacions que es desija aplicar a una classe d'objectes major que aquells per als quals "a priori" "tenen sentit".

Definició

Un operador llineal densament definit $T$ d'un espai vectorial topològic, $X$ a un atre espai vectorial $Y$ és un operador llineal que es definix en un subespacio llineal dens $\mathrm{dom}(T)$ de $X$ i pren valors en $Y$, denotats com $T:\mathrm{dom}(T)\subseteq X\to Y$. A voltes, açò s'escriga com $T:X\to Y$ quan el context deixa clar que $X$ podria no ser el domini teòric de $T$.

Eixemples

Considere's l'espai $C^0([0,1];ℝ)$ de totes les funcions contínues de valores reals, definides en l'interval unitari; i siga $C^1([0,1];ℝ)$ el subespacio que consta de totes les funcions contínuament diferenciables. Una volta equipat $C^0([0,1];ℝ)$ en el norma del suprem $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$, açò convertix a $C^0([0,1];ℝ)$ en un espai de Banach real. l'operador diferencial $D$ dau per $(\mathrm{D}u)(x)=u^{\prime }(x)$ és un operador densament definit des de $C^0([0,1];ℝ)$ cap a sí mateixa, definit en el subespacio dens $C^1([0,1];ℝ)$. L'operador $\mathrm{D}$ és un eixemple d'operador llineal no acotat, ya que

$u_n(x)=e^{-nx}\text{ tiene }\frac{{\Vert \mathrm{D}{u}_n\Vert }_{\mathrm{\infty }}}{{\Vert u_n\Vert }_{\mathrm{\infty }}}=n$

Esta ilimitación causa problemes si es desija d'alguna manera estendre contínuament l'operador de diferenciació $D$ a tot $C^0([0,1];ℝ)$.

l'integral de Paley-Wiener, per un atre costat, és un eixemple de funció contínua d'un operador densament definit. En qualsevol espai de Wiener abstracte $i:H\to E$ en adjunt $j:=i^{*}:E^{*}\to H,$ existix un operador llineal continu natural (de fet, és l'inclusió, i és una isometría) de $j\left(E^{*}\right)$ a $L^2(E,\gamma ;ℝ)$, baix el que $j(f)\in j\left(E^{*}\right)\subseteq H$ va a la classe d'equivalència $[f]$ de $f$ en $L^2(E,\gamma ;ℝ)$. Es pot demostrar que $j\left(E^{*}\right)$ és dens en $H$. Ya que l'inclusió anterior és contínua, existix una extensió llineal contínua única $I:H\to L^2(E,\gamma ;ℝ)$ de l'inclusió $j\left(E^{*}\right)\to L^2(E,\gamma ;ℝ)$ a la totalitat de $H$. Esta extensió és l'aplicació de Paley-Wiener.

Vore també

• Teorema de Blumberg
• Teorema del grafo tancat (anàlisis funcional)
• Aplicació llineal
• Funció parcial

Bibliografia

• (2004) An introduction to partial differential equations, Second edició, New York: Springer-Verlag, pp. xiv+434. ISBN 0-387-00444-0.