Mathematics and the Imagination

Mathematics and the Imagination és un llibre publicat en Nova York per Simon & Schuster en 1940. Els autors són Edward Kasner i James R. Newman. L'ilustrador Rufus Isaacs va aportar 169 figures. Ràpidament es va convertir en un èxit de vendes i va rebre vàries crítiques entusiastes. Se li ha otorgat publicitat especial perque va introduir el terme googol per a 10¹⁰⁰, i googolplex per a 10^googol. El llibre inclou nou capítuls, una bibliografia comentada de 45 títuls i un índex en els seus 380 pàgines.

Resenyes

Segons I. Bernard Cohen, "és el millor relat de les matemàtiques modernes que tenim", i està "escrit en un estil elegant, combinant claritat d'exposició en bon humor". Segons la resenya de T.A. Ryan, el llibre "no és tan superficial com caldria esperar d'un llibre de nivell popular. Per eixemple, la descripció de l'invenció del terme googol... és un intent molt sério de mostrar cóm s'utilisa mal és el terme infinit quan s'aplica a números finitos i grans". En 1941, G. Waldo Dunnington va poder notar que el llibre s'havia convertit en un èxit de vendes. "Aparentment ha conseguit comunicar al profà alguna cosa del plaure que experimenta el matemàtic creatiu en la resolució de problemes difícils".

Contingut

Les notes d'introducció (pág. Xiii) "La ciència, en particular les matemàtiques,... sembla estar construint l'únic edifici permanent i estable en una época en la que tots els demés s'estan derrocant o s'estan fent péntols". Els autors afirmen (p xiv): "Ha segut el nostre objectiu... mostrar per la seua mateixa diversitat alguna cosa del caràcter de les matemàtiques, del seu esperit audaç i desenfrenat, de cóm, tant com a art com com a ciència, ha continuat per a dur les facultats creatives més allà inclús de l'imaginació i l'intuïció".

En el capítul un, "Nous noms per a vells", expliquen per qué les matemàtiques són la ciència que usa paraules fàcils per a idees difícils. Senyalen (p. 5) que "sorgixen moltes ambigüitats divertides. Per eixemple, la paraula funció provablement expressa l'idea més important en tota la història de les matemàtiques. Ademés, la teoria d'anells és molt més recent que la teoria de grups. En la majoria dels llibres nous sobre àlgebra, i no té res que vore ni en el matrimoni ni en les campanes. La pàgina 7 introduïx el teorema de la curva de Jordan. En discutir el problema de Apolonio, mencionen que la soluciópn d'Edmond Laguerre va considerar círculs en orientació. (p. 13) En presentar els radicals, diuen: "El símbol del radical no és la hoz i el martell, sino un signe de tres o quatre sigles d'antiguetat, i l'idea d'un radical matemàtic és inclús més antiga que eixe." (p. 16) "Ruffini i Abel varen demostrar que les equacions de quint grau no es poden resoldre en radicals" (p. 17) (teorema d'Abel-Ruffini).

El capítul 2, "Més allà de Googol" tracta els conjunts infinits. La distinció es fa entre un conjunt contable i un conjunt incontable. Ademés, es dona la propietat característica dels conjunts infinits: una classe infinita pot estar en correspondència 1: 1 en un subconjunt propi (p 57), de modo que "una classe infinita no és major que algunes de les seues parts" (p 43). Ademés d'introduir els números de Aleph, els autors citen The Hunting of the Snark de Lewis Carroll, a on es donen instruccions per a evitar borinotades en caçar el snark. Diuen "L'infinit també pot ser boojum". (pág. 61)

El capítul 3 és "Peu (π, i, i) Transcendental i Imaginari". Per a motivar i (constant matemàtica), analisen primer l'interés compost i després l'interés compost continu. "Cap atra constant matemàtica, ni tan sols π, està més estretament relacionada en els assunts humans" (p. 86). "[i] ha jugat un paper integral en ajudar als matemàtics a descriure i predir lo que per a l'home és el més important de tots els fenomens naturals: el del creiximent".

La funció exponencial, i = i^x... "és l'única funció de x en la taxa de canvi sobre x igual a la funció en sí". (p 87) Els autors definixen el pla de Gauss i descriuen l'acció de la multiplicació per i com a rotació a través de 90 °. Aborden l'identitat de Euler, és dir, l'expressió i^πi+1=0, indicant lo que el venerable Benjamin Peirce va calificar de "absolutament paradòxic". Després s'expressa una nota d'idealisme: "Quan hi haja tanta humiltat i tanta visió en tots els llocs, la societat serà governada per la ciència i no per la seua gent inteligent" (pp 103,4).

El capítul 4 és "Geometria sortides, pla i fantasia". Tant la geometria no euclidiana i l'espai de quatre dimensions es discutixen. Els autors diuen (p. 112): "Entre les nostres conviccions més precioses, cap és més preciosa que les nostres creències sobre l'espai i el temps, pero és més difícil d'explicar".

En les pàgines finals, els autors aborden la pregunta "¿Qué són les matemàtiques?". Diuen que és un "fet trist que siga més fàcil ser inteligent que clar". La resposta no és tan fàcil com definir la biologia. "En les matemàtiques tenim un llenguage universal, vàlit, útil, inteligible en tots els llocs, en el lloc i el temps..." Finalment, "auster i imperiós com la llògica, encara és lo suficientment sensible i flexible per a satisfer cada nova necessitat. El vast edifici descansa sobre els fonaments més simples i primitius, està forjat per l'imaginació i la llògica a partir d'un grapat de regles infantils". (pág. 358)