Métodos numèrics per a equacions diferencials ordinàries

Archiu:Numerical integration illustration, step=1.svg

Ilustració de l'integració numèrica per a l'equació diferencial $y^{\prime }=y,y(0)=1.$ Blava: el Método de Euler, vert: el método del punt mig, roig: la solució exacta, $y=e^t.$ El tamany del pas és $h=1.0$

Archiu:Numerical integration illustration step=0.25.svg

La mateixa ilustració per a $h=0.25$. Es veu que el método del punt mig convergix més ràpit que el método de Euler

Els métodos numèrics per a equacions diferencials ordinàries són procediments utilisats per a trobar aproximacions numericas a les solucions d'equacions diferencials ordinàries (EDO). El seu us també es coneix com integració numèrica, encara que este terme a voltes es pren per a significar el càlcul d'una integració.

Moltes equacions diferencials no poden resoldre's usant funcions típiques ("anàlisis"). No obstant, a efectes pràctics, com en ingenieria, una aproximació numèrica a la solució sol ser suficient. Els algoritmes estudiats ací poden usar-se per a calcular tal aproximació. Un método alternatiu és utilisar tècniques de càlcul infinitesimal per a obtindre una expansió en série de la solució.

Les equacions diferencials ordinàries es presenten en moltes disciplines científiques, per eixemple, en física, química, biologia i economia. Ademés, alguns métodos en equacions diferencials parcials numèriques convertixen una equació diferencial parcial en una equació diferencial ordinària, que després deu resoldre's. (solve by: Wellington Castell)

El problema

Una equació diferencial de primer orde és un problema de valor inicial (PVI) de la forma,

$y^{\prime }(t)=f(t,y(t)),y(t_0)=y_0,(1)$

a on f és una funció que assigna [t₀,∞) × R^d a R^d, en la condició inicial i₀ ∈ R^d és un vector donat. Primer orde significa que solament la primera derivada de ("i") apareix en l'equació, i les derivades més altes estan absents.

Sense pèrdua de generalitat en els sistemes d'orde superior, en este artícul es restringix l'explicació a les equacions diferencials de "primer orde", perque un EDO d'orde superior es pot convertir en un sistema més gran d'equacions de primer orde per mig de l'introducció de variables adicionals. Per eixemple, l'equació de segon orde i'' = -i pot reescriure's com dos equacions de primer orde: i' = z i z' = -i.

En esta secció, es descriuen métodos numèrics per als PVI, tenint en conte que els problemes de condició de frontera (PCF) requerixen un conjunt diferent de ferramentes. En un PCF, es definixen valors o components de la solució i en més d'un punt. Per açò, es deuen usar diferents métodos per a resoldre-ho. Per eixemple, el método de dispar (i les seues variants) o métodos globals com les diferències finitas, el método de Galerkin o el método de colocació són apropiats per a eixa classe de problemes.

El teorema de Picard-Lindelöf establix que existix una solució única, sempre que f siga lipschitzianamente contínua.

Métodos

Els métodos numèrics per a resoldre PVI de primer orde a sovint es dividixen en una d'estes dos grans categories: método llineal multipaso o método de Runge-Kutta. Es pot conseguir una separació adicional dividint els métodos en aquells que són explícits i aquells que són implícits. Per eixemple, els métodos llineals multipaso implícits inclouen el método d'Adams-Moulton i la fòrmula de diferenciació cap a arrere (FDA), mentres que el método de Runge-Kutta inclou Runge-Kutta diagonalment implícit (RKDI), Runge-Kutta diagonalment implícit simple (RKDIS) i Gauss-Radau (basat en la quadratura gaussiana). Els eixemples explícits de la família llineal multipaso inclouen el método llineal multipaso, i qualsevol método de Runge-Kutta en una diagonal inferior és explícit. Una regla general solta dicta que les equacions diferencials rígides requerixen l'us d'esquemes implícits, mentres que els problemes no rígits es poden resoldre de manera més eficient en esquemes explícits.

Els cridats métodos llineals generals (MLG) són una generalisació de les dos grans classes de métodos anteriors.

Método de Euler

Artícul principal → Método de Euler.

Des de qualsevol punt d'una curva, es pot trobar una aproximació d'un atre punt propenc en la curva movent-se una curta distància sobre una llínea tangente a la curva.

Començant en l'equació diferencial (1), es reemplaça la derivada i' per l'aproximació respecte a una diferència finita

$y^{\prime }(t)\approx \frac{y(t+h)-y(t)}{h},(2)$

que quan es reorganisa produïx la següent fòrmula

$y(t+h)\approx y(t)+h{y}^{\prime }(t)$

i usant (1) dona:

$y(t+h)\approx y(t)+hf(t,y(t)).(3)$

Esta fòrmula generalment s'aplica de la manera que s'explica a continuació.

S'elegix el tamany de pas h i es construïx la seqüència t₀, t₁ = t₀ + h, t₂ = t₀ + 2h, ... Denotant per i_n una estimació numèrica de la solució exacta i(t_n).

D'acort en (3), es calculen estes estimacions per mig del següent esquema recursivo:$y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n).(4)$ Est és el método de Euler (en contrast en el método de Euler cap a arrere, que es descriu a continuació). El método du el nom de Leonhard Euler que ho va descriure en 1768.

És un eixemple d'un método explícit. Açò significa que el nou valor i_n+1 es definix en térmens de senyes que ya es coneixen, com i_n.

Método de Euler cap a arrere

Artícul principal → Método de Euler cap a arrere.

Si, en lloc de (2), s'usa l'aproximació

$y^{\prime }(t)\approx \frac{y(t)-y(t-h)}{h},(5)$

s'obté el "método de Euler cap a arrere":

$y_{n+1}=y_n+hf(t_{n+1},y_{n+1}).(6)$

Açò implica que es tracta d'un método implicito, lo que significa que prèviament es deu resoldre una atra equació en la finalitat de trobar i_n+1. Per a això, a sovint s'usa el método del punt fix o alguna modificació del método de Newton-Raphson.

No obstant, normalment costa més temps resoldre esta equació que els càlculs dels métodos explícits. Este cost deu tindre's en conte quan se selecciona el método a utilisar. La ventaja dels métodos implícits com (6) és que generalment són més estables per a resoldre una equació rígida, lo que significa que es pot usar un tamany de pas h més gran.

Método integrador exponencial de primer orde

Artícul principal → Integrador exponencial.

Els integradors exponencials descriuen una gran classe de métodos que han experimentat un gran desenroll. El seu orige es remonta a lo manco a la década de 1960.

En lloc de (1), s'assumix que l'equació diferencial és qualsevol de la forma

$y^{\prime }(t)=-Ay+𝒩(y),(7)$

o s'ha linealizado localment sobre una forma original per a produir un terme llineal $-Ay$ i un terme no llineal $𝒩(y)$.

Els integradors exponencials es construïxen multiplicant (7) per $e^{At}$ i integrant exactament el resultat sobre un interval de temps $[t_n,t_{n+1}=t_n+h]$:

$y_{n+1}=e^{-Ah}{y}_n+\underset{0}{\overset{h}{\int }}{e}^{-(h-\tau )A}𝒩\left(y(t_n+\tau )\right)d\tau .$

Esta equació integral és exacta, pero no definix l'integral.

L'integrador exponencial de primer orde es pot determinar mantenint $𝒩(y(t_n+\tau ))$ constant durant tot l'interval:

$y_{n+1}=e^{-Ah}{y}_n+A^{-1}(1-e^{-Ah})𝒩(y(t_n)).(8)$

Generalisacions

El método de Euler a sovint no és lo suficientment exacte. En térmens més precisos, solament té orde un (el concepte de orde s'explica a continuació). Açò va fer que els matemàtics buscaren métodos d'orde superior.

Una possibilitat és usar no solament el valor prèviament calculat i_n per a determinar i_n+1, sino fer que la solució depenga de més valors calculats prèviament. Açò produïx el cridat "método de varis passos". Potser el més simple és el método del bot de granota, que és de segon orde i (més o menys) es basa en dos valors previs cada volta.

Casi tots els métodos pràctics de varis passos pertanyen a la família del método llineal multipaso, que tenen la forma

${\alpha }_k{y}_{n+k}+{\alpha }_{k-1}{y}_{n+k-1}+\cdots +{\alpha }_0{y}_n$

$=h[{\beta }_{k}f(t_{n+k},y_{n+k})+{\beta }_{k-1}f(t_{n+k-1},y_{n+k-1})+\cdots +{\beta }_{0}f(t_n,y_n)].$

Una atra possibilitat és usar més punts en l'interval [t_n, t_n+1]. Açò du a la família del método de Runge-Kutta, cridada aixina per Carl Runge i Martin Wilhelm Kutta. Un dels seus métodos de quart orde és especialment popular.

Funcions alvançades

Una bona implementació d'un d'estos métodos per a resoldre una EDO a sovint implica alguna cosa més que elegir una fòrmula i un pas d'interval adequats.

A sovint és ineficiente usar el mateix tamany de pas tot el temps, per lo que s'han desenrollat "métodos de tamany de pas variable". Per lo general, el tamany del pas s'elegix de modo que l'error (local) per pas estiga per baix de cert nivell de tolerància. Açò significa que els métodos també deuen calcular un "indicador d'error", una estimació de l'error local.

Una extensió d'esta idea és elegir dinàmicament entre diferents métodos de diferents órdens (açò es diu un "método d'orde variable"). Els métodos basats en l'extrapolació de Richardson, com l'algoritme de Bulirsch-Stoer, a sovint s'utilisen per a construir varis métodos de diferents órdens.

Atres característiques desijables inclouen:

• Eixida densa: aproximacions numèriques assequibles en tot l'interval d'integració, i no solament en els punts t₀, t₁, t₂, ...
• Ubicació de l'event: trobar els moments en que, per eixemple, una funció particular desapareix. Açò normalment requerix l'us d'un estimador de resolució numèrica d'equacions no llineals.
• Soport per a computació paralela.
• Quan s'usa per a integrar sobre el temps, reversibilidad del temps.

Métodos alternatius

Alguns atres métodos no es detallen el present artícul. Entre estos métodos alternatius, es troben:

• Métodos multiderivadas, que utilisen no solament la funció f sino també les seues derivades. Esta classe inclou els métodos de Hermite-Obreschkoff i de Fehlberg, aixina com procediments com el método de Parker-Sochacki o el método de Bychkov-Scherbakov, que calculen els coeficients d'una série de Taylor de la solució i de forma recursiva.

Métodos per a EDO de segon orde". Anteriorment es va dir que totes les EDO d'orde superior poden transformar-se en EDO de primer orde de la forma (1). Si ben açò és cert, pot ser que no sempre siga la millor manera de procedir. En particular, el método de Nyström treballa directament en equacions de segon orde.

• Els métodos d'integració geomètrica estan especialment dissenyats per a classes especials de EDO (per eixemple, l'integrador simpléctico, adequat per a determinar la solució d'equacions hamiltonianas), ya que tenen en conte que la solució numèrica respecte l'estructura o la geometria subjacent d'estes classes.

• Els métodos de sistemes d'estat quantificats formen una família de procediments d'integració de EDO basada en l'idea de la quantificació d'estat. Són eficients en simular sistemes dispersos en discontinuïtats freqüents.

Métodos paralels en el temps

Per a aplicacions que requerixen computació paralela en supercomputadoras, el grau de complexitat requerit per un método numèric es torna rellevant. En vista dels desafius dels sistemes informàtics que treballen a exaescala, s'estan estudiant métodos numèrics para problemes de valor inicial que puguen proporcionar concurrència en la direcció temporal. Parareal és un eixemple relativament conegut de tal método d'integració paralel en el temps, pero les primeres idees al respecte es remonten a la década de 1960.

Vore també

• Número de Courant-Friedrichs-Levy
• Deriva energètica
• Métodos llineals generals
• Anex:Llista de temes d'anàlisis numèric
• Algoritme de propagació reversible del sistema de referència
• Llenguage Modelica i software OpenModelica

Bibliografia

• J. Arrieta, R. Ferreira, R. Pardo i A. Rodríguez-Bernal. "Anàlisis Numèric d'Equacions Diferencials Ordinàries". Paraninfo, Madrit, 2020. ISBN 9788428344418, ISBN 8428344418.
• Bradie, Brian (2006). A Friendly Introduction to Numerical Analysis, Upper Saddle River, New Jersey: Pearson Prentice Hall.
• J. C. Butcher, Métodos numèrics per a equacions diferencials ordinàries , ISBN 0-471-96758-0
• Ernst Hairer, Syvert Paul Nørsett i Gerhard Wanner, "Resolent equacions diferencials ordinàries I: problemes no rígits", segona edició, Springer Verlag, Berlín, 1993. ISBN 3-540-56670-8.
• Ernst Hairer i Gerhard Wanner, "Resolent equacions diferencials ordinàries II: problemes rígits i diferencials-algebraics", segona edició, Springer Verlag, Berlín, 1996. ISBN 3-540-60452-9.
  (This two-volume monograph systematically covers all aspects of the field.)
• Hochbruck, Marlis. “Exponential integrators”. Acta Numerica 19: 209–286. doi:10.1017/S0962492910000048. Bibcode: 2010AcNum..19..209H.
• Arieh Iserles, A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, Cambridge University Press, 1996. ISBN 0-521-55376-8 (hardback), ISBN 0-521-55655-4 (paperback).
  (Textbook, targeting advanced undergraduate and postgraduate students in mathematics, which also discusses numerical partial differential equations.)

John Denholm Lambert, Numerical Methods for Ordinary Differential Systems, John Wiley & Sons, Chichester, 1991. ISBN 0-471-92990-5.
(Textbook, slightly more demanding than the book by Iserles.)