Método llineal multipaso

Els métodos llineals multipaso s'utilisen per a la resolució numèrica d'equacions diferencials ordinàries. Conceptualment, els métodos numèrics comencen despuix de l'elecció d'un punt inicial i a continuació realisen un pas d'aproximació per a trobar el següent punt que permeta seguir acostant-se a la solució. El procés continua en els següents passos per a reconéixer la solució.

Els métodos d'un sol pas (com el método de Euler) es referixen solament a un punt anterior i a la seua derivada per a determinar el valor buscat. Métodos com el de Runge–Kutta utilisen un pas més (per eixemple, un pas intermig) per a obtindre un método d'orde superior, per a després descartar l'informació anterior abans de donar un segon pas. Els métodos de varis passos intenten obtindre eficiència mantenint i utilisant l'informació dels passos anteriors, en lloc de descartar-la. Per tant, es referixen a distints punts anteriors i als valors de les seues derivades. En el cas dels métodos llineals "multipaso", s'utilisa una combinació llineal dels punts anteriors i dels valors de les seues derivades.

Definicions

Els métodos numèrics per a obtindre solucions aproximades a equacions diferencials ordinàries, aborden el problema d'elegir valors inicials de la forma

y^{'} = f (t, y), y (t_{0}) = y_{0} .

El resultat és un conjunt d'aproximacions per al valor de $y (t)$ en moments discrets $t_{i}$ : $y_{i} \approx y (t_{i}) donde t_{i} = t_{0} + i h,$ sent $h$ és el pas o increment del temps elegit (a voltes referit com $Δ t$ ) i sent $i$ un sancer.

Els métodos de varis passos utilisen informació dels passos anteriors de $s$ per a calcular el següent valor. En particular, un método "llineal multipaso" utilisa una combinació llineal de $y_{i}$ i $f (t_{i}, y_{i})$ per a calcular el valor de $y$ per al pas desijat. Per lo tant, un método llineal multipaso adopta la forma

\begin{matrix} y_{n + s} + a_{s - 1} \cdot y_{n + s - 1} + a_{s - 2} \cdot y_{n + s - 2} + \dots + a_{0} \cdot y_{n} \\ = h \cdot (b_{s} \cdot f (t_{n + s}, y_{n + s}) + b_{s - 1} \cdot f (t_{n + s - 1}, y_{n + s - 1}) + \dots + b_{0} \cdot f (t_{n}, y_{n})), \end{matrix}

Els coeficients $a_{0}, \dots, a_{s - 1}$ i $b_{0}, \dots, b_{s}$ determinen el método. El dissenyador del método elegix els coeficients, equilibrant la necessitat d'obtindre una bona aproximació a la verdadera solució, front a la necessitat d'obtindre un método que siga fàcil d'aplicar. A sovint, molts coeficients són zero per a simplificar el método.

Es pot distinguir entre métodos implícits i explícits. Si $b_{s} = 0$ , llavors el método es diu "explícit", ya que la fòrmula pot calcular directament $y_{n + s}$ . Si $b_{s} \neq 0$ llavors el método es diu "implícit", ya que el valor de $y_{n + s}$ depén del valor de $f (t_{n + s}, y_{n + s})$ , i l'equació deu ser resolta per a $y_{n + s}$ . Métodos iterativos tals com el método de Newton s'utilisen a sovint per a resoldre la fòrmula implícita.

A voltes s'utilisa un método explícit de varis passos per a "predir" el valor de $y_{n + s}$ . Eixe valor s'utilisa llavors en una fòrmula implícita per a "corregir" el valor obtingut. El resultat és llavors un método predictor–corrector.

Eixemples

Considere's per eixemple el problema

y^{'} = f (t, y) = y, y (0) = 1.

La solució exacta és $y (t) = e^{t}$ .

Euler d'un pas

Un método numèric simple és el método de Euler:

y_{n + 1} = y_{n} + h f (t_{n}, y_{n}) .

El método de Euler pot ser vist com un método multipaso explícit, per al cas degenerado d'un sol pas.

Este método, aplicat en el tamany de pas $h = \frac{1}{2}$ en el problema $y^{'} = y$ , dona els següents resultats:

\begin{matrix} y_{1} & = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0}) = 1 + \frac{1}{2} \cdot 1 = 1.5, \\ y_{2} & = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1}) = 1.5 + \frac{1}{2} \cdot 1.5 = 2.25, \\ y_{3} & = y_{2} + h f (t_{2}, y_{2}) = 2.25 + \frac{1}{2} \cdot 2.25 = 3.375, \\ y_{4} & = y_{3} + h f (t_{3}, y_{3}) = 3.375 + \frac{1}{2} \cdot 3.375 = 5.0625. \end{matrix}

Adams-Bashforth de dos passos

El método de Euler és un método d'un sol pas. Un método simple de varis passos és el método de dos passos d'Adams-Bashforth

y_{n + 2} = y_{n + 1} + \frac{3}{2} h f (t_{n + 1}, y_{n + 1}) - \frac{1}{2} h f (t_{n}, y_{n}) .

Este método necessita dos valors, $y_{n + 1}$ i $y_{n}$ , per a calcular el següent valor, $y_{n + 2}$ . No obstant, el problema de valor inicial proporciona solament un valor, $y_{0} = 1$ . Una possibilitat per a resoldre este problema és utilisar el $y_{1}$ calculat pel método de Euler com el segon valor. En esta opció, el método d'Adams-Bashforth produïx (redonejat a quatre dígits):

$\begin{matrix} y_{2} & = y_{1} + \frac{3}{2} h f (t_{1}, y_{1}) - \frac{1}{2} h f (t_{0}, y_{0}) = 1.5 + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1.5 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = 2.375, \\ y_{3} & = y_{2} + \frac{3}{2} h f (t_{2}, y_{2}) - \frac{1}{2} h f (t_{1}, y_{1}) = 2.375 + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2.375 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1.5 = 3.7812, \\ y_{4} & = y_{3} + \frac{3}{2} h f (t_{3}, y_{3}) - \frac{1}{2} h f (t_{2}, y_{2}) = 3.7812 + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 3.7812 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2.375 = 6.0234. \end{matrix}$

La solució exacta en $t = t_{4} = 2$ és $e^{2} = 7.3891 \dots$ , per lo que el método de dos passos d'Adams-Bashforth és més precís que el método de Euler. Açò és sempre el cas si el tamany del pas és lo suficientment menut.

Vore també

Guany d'energia digital

Referències

J. Arrieta, R. Ferreira, R. Pardo i A. Rodríguez-Bernal. "Anàlisis Numèric d'Equacions Diferencials Ordinàries". Paraninfo, Madrit, 2020. ISBN 9788428344418, ISBN 8428344418.

(1883).«An Attempt to test the Theories of Capillary Action by comparing the theoretical and measured forms of drops of fluïu. With an explanation of the method of integration employed in constructing the tables which give the theoretical forms of such drops, by J. C. Adams».Cambridge:.
(2003).«Numerical Methods for Ordinary Differential Equations».John Wiley..
(1956).«Convergence and stability in the numerical integration of ordinary differential equations».Mathematica Scandinavica.4

33--53..

(1963).«A special stability problem for linear multistep methods».BIT.3

27–43.ISSN 0006-3835.doi:10.1007/BF01963532..

(1977).«A History of Numerical Analysis from the 16th through the 19th Century».Springer-Verlag.New York:.
(1993).«Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems».Springer Verlag.Berlin:.
(1996).«Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems».Springer Science+Business Mija.Berlin, New York:.
(1996).«A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations».Cambridge University Press..
(1926).«Numerical integration of ordinary differential equations».American Mathematical Monthly.Mathematical Association of America.33(9)

455–460.doi:10.2307/2299609..

(1926).«New methods in exterior ballistics».University of Chicago Press..
(2000).«Matematica Numerica».Springer Verlag..
(2003).«An Introduction to Numerical Analysis».Cambridge University Press..

Este artícul conté una traducció derivada de «Método lineal multipaso» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.