Integral trigonométrica cardinal

Erro al crear miniatura:

Integral trigonométrica cardinal

Archiu:Plot of the hyperbolic sine integral function Shi(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D.svg

Gràfic de la funció integral sen hiperbòlic Shi(z) en el pla complex de -2-2i a 2+2i, en colors creats en la funció ComplexPlot3D de Mathematica 13.1

Archiu:Sine cosine integral.svg

Si(x) (blava) i Ci(x) (verda) representades en el mateix gràfic

Archiu:Integral sine in the complex plain.svg

Integral sen en el pla complex, traçat en una variant de coloreat de dominis

Archiu:Cosc.svg

Integral coseno en el pla complex. Observe's la branca tallada a lo llarc de l'eix real negatiu

En matemàtiques, les funcions integrals trigonométricas cardinals són una família d'integrals no elementals que involucren funcions trigonométricas cardinals (aquelles que consistixen en dividir una funció trigonométrica en una variable, per la pròpia variable).

Integral senoidal

Artícul principal → Integral senoidal.

Archiu:Sine integral.svg

Gràfica de Si(x) para 0 ≤ x ≤ 8 π

Archiu:Plot of the cosine integral function Ci(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D.svg

Gràfica de la funció integral coseno Ci(z) en el pla complex de -2-2i a 2+2i en colors creats en la funció ComplexPlot3D de Mathematica 13.1

Les diferents definicions de l'integral sen són:

$\mathrm{Si}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sin t}{t}dt$

$\mathrm{si}(x)=-\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin t}{t}dt.$

Tinga's en conte que l'integrant $\frac{\sin (t)}{t}$ és el sen cardinal, i també la funció de Bessel esfèrica d'orde zero. Ya que sinc és una funció completa parell (funció holomorfa en tot el pla complex), Si és sancera, impar i per a l'integral de la seua definició es pot prendre qualsevol recorregut que conecte els punts extrems.

Per definició, Si(x) és la primitiva de sense x / x el valor de la qual és zero en x= 0, i si(x) és la primitiva el valor de la qual és zero en x= ∞. La seua diferència està donada per l'integral de Dirichlet,

$\mathrm{Si}(x)-\mathrm{si}(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin t}{t}dt=\frac{\pi }{2}\text{ o }\mathrm{Si}(x)=\frac{\pi }{2}+\mathrm{si}(x).$

En processament de senyals, les oscilacions de l'integral sinusoidal provoquen sobrepasos i artefactes d'anell quan s'usa un filtre Sinc, i el domini de la freqüència resona si s'usa un filtre sinc truncat com filtre de pas baix.

La funció està relacionada en el fenomen de Gibbs: si es considera l'integral sen com la convolución de la funció sinc en la funció escaló de Heaviside, açò correspon a truncar la série de Fourier, que és la causa del fenomen de Gibbs.

Integral cosenoidal

Archiu:Cosine integral.svg

Gràfica de Ci(x) para 0 < x ≤ 8π

Les diferents definicions de l'integral cosenoidal són:

$\mathrm{Cin}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1-\cos t}{t}dt,$

$\mathrm{Ci}(x)=-\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos t}{t}dt=\gamma +\ln x-\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1-\cos t}{t}dt\text{ para }|\mathrm{Arg}(x)|<\pi ,$

a on γ ≈ 0.57721566 ... és el Constant de Euler-Mascheroni. Alguns texts utilisen ci en lloc de Ci.

Ci(x) és la primitiva de cos x / x (que s'anula quan $x\to \mathrm{\infty }$). Les dos definicions estan relacionades per

$\mathrm{Ci}(x)=\gamma +\ln x-\mathrm{Cin}(x).$

Cin és una funció completa parell. Per esta raó, alguns texts tracten a Cin com la funció principal i deduïxen Ci a partir de Cin.

Vore també

• Integral senoidal
• Logaritmo integral
• Sen cardinal
• Sen hiperbòlic
• Coseno hiperbòlic
• Tangente hiperbòlica

Bibliografia

• Handbook of Mathematical Functions with Formules, Graphs, and Mathematical Tables, Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first edició (vol. 55), Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications, pp. 231. ISBN 978-0-486-61272-0.