Grup amenable

En matemàtiques, un grup promediable (grup amenable en anglés) és un grup topològic localment compacte $G$ que porta a terme un tipo d'operació de promediado en funcions acotades el qual és invariante baix translació d'elements del grup. La definició original, en térmens d'una mida (o mija) finitamente aditiva sobre subconjunts de $G$, va ser introduïda per John von Neumann en 1929 baix el nom alemà "messbar" ("mesurable" en anglés, encara que hui en dia els matemàtics alemans usen el terme "Mittelbare Gruppe ") en resposta a la paradoxa de Banach-Tarski . En 1949 Mahlon M. Day va introduir la traducció anglesa "amenable", aparentment com un joc de paraules en " pixen ".

El pas crític en la construcció de la paradoxa de Banach-Tarski és trobar dins del grup de rotació SO(3) un subgrup lliure en dos generadors. Els grups amenables no poden contindre a tals grups i no permeten este tipo de construcció paradòxica.

La amenabilidad té moltes definicions equivalents. En el camp del anàlisis, la definició és en térmens de funcionals llineals . Una forma intuïtiva d'entendre esta versió és que el soport de la representació regular és tot l'espai de representacions irreducibles .

En la teoria de grups discrets, a on $G$ té la topología discreta, s'utilisa una definició més simple. En este context, un grup és amenable si es pot dir qué proporció de $G$ ocupa un subconjunt determinat. Per eixemple, qualsevol subgrup del grup dels número entero $(\mathbb{Z},+)$ és generat per algun sancer $p\ge 0$ . Si $p=0$ llavors el subgrup ocupa proporció 0. De lo contrari, ocupa $1/p$ de tot el grup. Encara que tant el grup com el subgrup tenen infinits elements, existix un sentit de proporció ben definit.

Definició de Amenabilidad per a grups localment compactes

Siga $G$ un grup de Hausdorff localment compacte . Llavors és ben sabut que posseïx una mida d'anell no trivial, invariante en la translació a l'esquerra (o dreta) i única a escala: la mida de Haar . (Esta és una medida regular de Borel quan G verifica el segon axioma de numerabilidad ; les mides de Haar esquerra i dreta coincidixen quan G és compacte). Considerem l'espai de Banach L ^∞ (G) de funcions mesurables essencialment acotades dins d'este espai de mida (que és clarament independent de l'escala de la mida de Haar).

Definició 1. Es diu que una funcional llineal $\Lambda \in \text{Hom}(L^{\mathrm{\infty }}(G),ℝ)$ és una mija si $\Lambda$ té norma 1 i és no negativa, és dir, $f\ge 0$ en casi totes parts implica $\Lambda (f)\ge 0$.

Definició 2. Es diu que una mija $\Lambda \in \text{Hom}(L^{\mathrm{\infty }}(G),ℝ)$ és invariante per l'esquerra (respectivament invariante per la dreta ) si $\Lambda (g\cdot f)=\Lambda (f)$ para tot $g\in G$, i $f\in L^{\mathrm{\infty }}(G)$ sobre l'acció de desplaçament per l'esquerra (respectivament per la dreta) de $(g\cdot f)(x)=f(g^{-1}\cdot x)$ (respectivament $(f\cdot g)(x)=f(x\cdot g^{-1})$).

Definició 3. Un grup de Hausdorff localment compacte es denomina amenable si admet una mija invariante per l'esquerra (o per la dreta).

En identificar $\text{Hom}(L^{\mathrm{\infty }}(G),ℝ)$ en l'espai de mides de Borel finitamente aditivas que són absolutament contínues sobre la mida de Haar en $G$ (un espai b a ), la terminologia es torna més natural: una mija en $\text{Hom}(L^{\mathrm{\infty }}(G),ℝ)$ induïx una mida de Borel finitamente aditiva i invariante per l'esquerra en $G$ que li dona a tot el grup un pes d'1.

Eixemple

Com a eixemple de grups compactes, considerem el grup circular. La gràfica d'una funció típica $f\ge 0$ sembla una curva irregular sobre un círcul, que es pot realisar arrancant l'extrem d'un tubo de paper. Després, la funció llineal promediaría la curva tallant una miqueta de paper d'un lloc i pegant-ho en un atre lloc, creant novament una part superior plana. Esta és la mija invariante, és dir, el valor promig $\Lambda (f)=\underset{ℝ/\mathbb{Z}}{\int }fd\lambda$ on $\lambda$ és una mida de Lebesgue.

La invariancia per l'esquerra significaria que girar el tubo no canvia l'altura de la part superior plana en l'extrem, és dir, només importa la forma del tubo. Combinat en linealidad, positividad i norma-1, açò és suficient per a demostrar que la mija invariante que hem construït és única.

Com a eixemple de grups localment compactes, considere el grup d'número entero baix l'operació suma. Una funció acotada $f$ és simplement una funció acotada de tipo $f:\mathbb{Z}\to ℝ$, i la seua mija és el promig mòvil $\underset{n}{\lim }\frac{1}{2n+1}\sum _{k=-n}^{n}f(k)$ .

Condicions equivalents de amenabilidad

Pier (1984) conté una gran cantitat de condicions sobre un grup localment compacte segon contable $G$ que són equivalents a la definició de Amenabilidad:

• Existència d'un promig invariante a esquerra (o dreta) en L∞(G). La definició original, que depén del axioma d'elecció.
• Existència d'estats invariantes a esquerra. Existix un estat invariante a esquerra en tota C*-subálgebra unitària separable i invariante a esquerra de les funcions contínues acotades sobre G.

Vore també

• Representació uniformemente acotada
• Propietat de Kazhdan (T)
• Conjectura de von Neumann