Espai ba

En matemàtiques, un espai ba (denotat com $ba(\Sigma )$) d'un àlgebra de conjunts $\Sigma$ és l'espai de Banach que consta de totes les medides en signe acotades finitamente aditivas en $\Sigma$. La norma es definix com variació, és dir $\Vert \nu \Vert =|\nu |(X).$

Si Σ és una σ-àlgebra, llavors l'espai $ca(\Sigma )$ es definix com el subconjunt de $ba(\Sigma )$ que consta de medides numerablemente aditivas. La notació ba és una regla mnemotècnica en anglés per a "bounded additive" (aditiu acotat) i ca és l'abreviatura de "countably additive" (aditiu numerable).

Si X és un espai topològic, i Σ és l'àlgebra sigma d'un conjunt de Borel en X, llavors $rca(X)$ és el subespacio de $ca(\Sigma )$ que consta de totes les mides de Borel regulars en X.

Propietats

Els tres espais estan complets (és dir, són espais de Banach) sobre la mateixa norma definida per la variació total i, per lo tant, $ca(\Sigma )$ és un subconjunt tancat de $ba(\Sigma )$ i $rca(X)$ és un conjunt tancat de $ca(\Sigma )$ per a Σ l'àlgebra de Borel establida en X. L'espai de funcions simples en $\Sigma$ és dens en $ba(\Sigma )$.

L'espai ba del conjunt potencia dels número natural, ba(2^N), a sovint es denota simplement com $ba$ i és un isomorfisme respecte al espai dual del espai ℓ^∞.

Dual de B(Σ)

Siga B(Σ) l'espai de funcions Σ-mesurables acotades, equipades en la norma del suprem. Llavors, ba(Σ) = B(Σ)* és l'espai dual de B(Σ). Este resultat es deu a Hildebrandt i Fichtenholtz & Kantorovich. Est és un tipo de teorema de representació de Riesz que permet representar una mida com un funcional llineal en funcions mesurables. En particular, este isomorfisme permet definir l'integració sobre una mida finitamente aditiva (tinga's en conte que l'integral de Lebesgue habitual requerix aditividad numerable). Este resultat es deu a Dunford & Schwartz, i s'utilisa a sovint per a definir l'integral sobre la mida vectorial, i especialment a la mida de Radon en valors vectorials.

El dual topològic de ba(Σ) = B(Σ)* és fàcil de visualisar. Existix una dualitat algebraica òbvia entre l'espai vectorial de totes les mides finitamente aditivas σ en Σ i l'espai vectorial de funcions simples ($\mu (A)=\zeta \left(1_A\right)$). És fàcil comprovar que la forma llineal induïda per σ és contínua en la supra norma si σ està acotada, i el resultat es deduïx de que una forma llineal en el subespacio dens de funcions simples s'estén a un element de B(Σ)* si és continu en la supra norma.

Dual de L^∞(μ)

Si Σ és una σ-àlgebra i μ és una mida positiva sigma aditiva en Σ, llavors l'espai Lp L^∞(μ) dotat en la norma del suprem essencial és per definició l'espai cocient de B(Σ) pel subespacio tancat de funcions nules μ acotades:

$N_{\mu }:=\{f\in B(\Sigma ):f=0\mu \text{-almost everywhere}\}.$

L'espai dual de Banach L^∞(μ)* és, per tant, isomorfo a

$N_{\mu }^{\perp }=\{\sigma \in ba(\Sigma ):\mu (A)=0\Rightarrow \sigma (A)=0\text{for any }A\in \Sigma \},$

és dir. l'espai de mides en signe sigma aditivas que són absolutament contínues sobre μ (μ-a.c. per a abreviar).

Quan l'espai de mida és ademés de mida sigma-finita llavors L^∞(μ) és a la seua volta dual a L¹(μ), que pel teorema de Radon–Nikodym s'identifica en el conjunt de totes les mides μ-a.c. sigma aditivas. En atres paraules, l'inclusió en el bidual

$L^1(\mu )\subset L^1(\mu {)}^{**}=L^{\mathrm{\infty }}(\mu {)}^{*}$

és isomorfa a l'inclusió de l'espai de mides acotades μ-a.c. numerablemente aditivas dins de l'espai de totes les mides acotades μ-a.c. finitamente aditivas.

Llectures adicionals

• Diestel, Joseph (1984). Sequences and séries in Banach spaces, Springer-Verlag. OCLC 9556781. ISBN 0-387-90859-5.
• “Finitely additive measures” . Transactions of the American Mathematical Society 72 (1): 46–66. doi:10.2307/1990654.
• Functional Analysis, Pergamon. doi:10.1016/C2013-0-03044-7. ISBN 978-0-08-023036-8.