Conjectura de Von Neumann

En matemàtiques, la conjectura de von Neumann va fixar que un grup topològic G no és receptiu si i solament si G conté un subgrup que és un grup lliure en dos generadors. La conjectura va ser refutada en 1980.

En 1920, durant el seu treball innovador en espais de Banach, John von Neumann va mostrar que un grup no receptiu conté un subgrup lliure de ranc 2. La semblança superficial a la teorema alternativa de Tits para grups de matrius va sugerir que l'opost (que cada grup que no és receptiu continga un subgrup lliure sobre dos generadors) és verdader. Encara que el nom de Von Neumann està popularment lligat a la conjectura de que l'opost és verdader, no sembla que el mateix Von Neumann creguera que l'opost fora verdader. Esta sugerència va ser proposta per diferents escritors en 1950 i en 1960, incloent una declaració atribuïda a Mahlon en 1957.

Ol'shanskii va demostrar que la conjectura era falsa en 1980; demostrant que el Tarski monster group, a on es veu fàcilment que no té un subgrup lliure de ranc 2, no és receptiu. Dos anys més vesprada, Sergei Adian mostrava que certs grups de Burnside eren també contraeixemples. Cap d'estos contraeixemples són presentació de grup i durant uns anys va ser considerat possible que la conjectura subjectara presentació de grups. No obstant, en el 2000, Ol'shanskii i Sapir presentaven una colecció de presentació de grups que no complixen la conjectura.

Referències

• A.Ju. Ol'shanskii. On the question of the existence of an invariant pixen on a group (en rus), Uspekhi Mat. Nauk vol. 35 (1980), Nº 4, 199-200
• S.I. Adyan. Random walks on free periodic groups (en rus), Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. vol. 46 (1982), Nº 6, 1139-1149, 1343
• A.Ju. Ol'shanskii and M.V. Sapir, Senar-amenable finitely presented torsion-by-cyclic groups, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. Nº 96, (2002), 43-169

Vore també

• Grup de Lie