Densitat natural

En teoria de números, la densitat natural (també coneguda com a densitat asintòtica o densitat aritmètica) és un método per a medir el tamany d'un subconjunt del conjunt dels número natural. Es basa principalment en la provabilitat de trobar membres del subconjunt desijat quan es pentina l'interval [1, Plantilla:Var] a mida que n creix.

Intuitivamente, es pensa que hi ha més número natural que quadrats perfectes, ya que tot quadrat perfecte és positiu, i ademés existixen molts atres sancers positius. No obstant, el conjunt dels sancers positius no és de fet major que el conjunt dels quadrats perfectes: abdós conjunts són infinits i numerables i, per lo tant, es poden fer correspondre element a element. No obstant, si es localisen en el conjunt dels número natural, els quadrats es tornen cada volta més escassos. La noció de densitat natural fa que esta intuïció siga precisa per a molts, pero no tots, els subconjunts dels número natural (vore densitat de Schnirelmann, un concepte similar al de densitat natural pero definit per a tots els subconjunts de $\mathbb{N}$).

Si se selecciona aleatoriamente un número entero de l'interval [1, Plantilla:Var], llavors la provabilitat de que pertanyga a A és la relació entre el número d'elements de A en [1, Plantilla:Var] i el número total d'elements en [1, Plantilla:Var]. Si esta provabilitat tendix a algun llímit quan n tendix a infinit, llavors este llímit es denomina densitat asintòtica de A. Esta noció pot entendre's com una espècie de provabilitat d'elegir un número del conjunt A. De fet, la densitat asintòtica (aixina com alguns atres tipos de densitat) s'estudien en teoria de números provabilística.

Definició

Un subconjunt A de sancers positius té densitat natural α si la proporció d'elements de A entre tots els número natural d'1 a n convergix a α com a n tendix a infinit.

Més explícitament, si es definix per a qualsevol número natural n la funció conteo a(n) com el número d'elements de A menors o iguals que n, llavors sent α la densitat natural de significa exactament que

a(n) / n → α com a n → ∞.

De la definició se seguix que si un conjunt A té densitat natural α, llavors 0 ≤ α ≤ 1.

Densitat asintòtica superior i inferior

Siga $A$ un subconjunt del conjunt d'número natural $\mathbb{N}=\{1,2,\dots \}.$ Per a qualsevol $n\in \mathbb{N}$, suponga's que $A(n)=\{1,2,\dots ,n\}\cap A.$ i $a(n)=|A(n)|$.

Llavors, es definix la densitat asintòtica superior (també cridada densitat superior) $\bar{d}(A)$ de $A$ per

$\bar{d}(A)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{a(n)}{n}$

a on lim sup és el llímit superior. $\bar{d}(A)$ també es coneix simplement com la densitat superior de $A.$

De manera similar, $\underset{\_}{d}(A)$, la densitat asintòtica inferior (també cridada densitat inferior) de $A$, es definix per

$\underset{\_}{d}(A)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{a(n)}{n}$

a on lim inf és el llímit inferior. Es pot dir que $A$ té una densitat asintòtica $d(A)$ si $\underset{\_}{d}(A)=\bar{d}(A)$, en el cas de la qual $d(A)$ és igual a este valor comú.

Esta definició pot reformular-se de la següent manera:

$d(A)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a(n)}{n}$

si este llímit existix.

Es pot provar que les definicions impliquen que també es complix lo següent. Si es tinguera que escriure un subconjunt de $\mathbb{N}$ com una seqüència creixent indexada pels número natural

$A=\{a_1<a_2<\dots \}$

llavors

$\underset{\_}{d}(A)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{n}{a_n},$

$\bar{d}(A)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{n}{a_n}$

i $d(A)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n}{a_n}$ si el llímit existix.

Una noció alguna cosa més dèbil de densitat és la densitat de Banach superior: donat un conjunt $A\subseteq \mathbb{N}$, es definix $d^{*}(A)$ com

$d^{*}(A)=\underset{N-M\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{|A\cap \{M,M+1,\dots ,N\}|}{N-M+1}$

Propietats i eixemples

• Si d(A) existix per a algun conjunt A, i A^c denota el seu conjunt complementari sobre $\mathbb{N}$, llavors d(A ^c) = 1 − d(A).
  • Corolari: $d(\mathbb{N})=1.$

• Si $d(A),d(B),$ i $d(A\cup B)$ existixen, llavors

$\max \{d(A),d(B)\}\le d(A\cup B)\le \min \{d(A)+d(B),1\}.$

• Per a qualsevol conjunt finito F de sancers positius, d(F) = 0.

• Si $A=\{n^2:n\in \mathbb{N}\}$ és el conjunt de tots els quadrats, llavors d(A) = 0.

• Si $A=\{2n:n\in \mathbb{N}\}$ és el conjunt de tots els número par, llavors d(A) = 0,5. De manera similar, per a qualsevol progressió aritmètica $A=\{an+b:n\in \mathbb{N}\}$ s'obté que $d(A)=\frac{1}{a}.$

• Per al conjunt P de tots els número primo s'obté del teorema dels número primo que d(P) = 0.

• El conjunt de tots els sancers lliures de quadrats té una densitat $\frac{6}{{\pi }^2}.$ Més generalment, el conjunt de tots els n^ésimos-números lliures de potències per a qualsevol n natural té una densitat $\frac{1}{\zeta (n)},$ a on $\zeta (n)$ és la funció zeta de Riemann.

• El conjunt de números abundants té una densitat distinta de zero. Marc Deléglise va demostrar en 1998 que la densitat del conjunt dels números abundants està entre 0,2474 i 0,2480.

• El conjunt

$A=\bigcup _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\{2^{2n},\dots ,2^{2n+1}-1\}$

de números l'expansió dels quals binaria conté un número impar de dígits és un eixemple d'un conjunt que no té una densitat asintòtica, ya que la densitat superior d'este conjunt és

$\bar{d}(A)=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1+2^2+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}=\frac{2}{3},$

mentres que la seua densitat inferior és

$\underset{\_}{d}(A)=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1+2^2+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}=\frac{1}{3}.$

• El conjunt de números que la seua representació decimal comença en el dígit 1 tampoc té densitat natural: la densitat inferior és 1/9 i la densitat superior és 5/9. (vore la llei de Benford).

• Considere's una successió equidistribuida $\{{\alpha }_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ en $[0,1]$ i defínsea una família monòtona $\{A_x{\}}_{x\in [0,1]}$ de conjunts:

$A_x:=\{n\in \mathbb{N}:{\alpha }_n<x\}.$

Llavors, per definició, $d(A_x)=x$ per a tots els $x$.

• Si S és un conjunt de densitat superior positiva, llavors el teorema de Szemerédi establix que S conté progressions aritmètiques finitas arbitrariamente grans, i el teorema de Furstenberg-Sárközy establix que algunes parelles de membres de S diferixen en un número quadrat.

Vore també

• Densitat de Dirichlet
• Conjectura sobre progressions aritmètiques de Erdős

Bibliografia

• Nathanson, Melvyn B. (2000). Elementary Methods in Number Theory (vol. 195), Springer Science+Business Mija. ISBN 978-0387989129.
• Niven, Ivan (1951). “The asymptotic density of sequences”. Bulletin of the American Mathematical Society 57 (6): 420–434. doi:10.1090/s0002-9904-1951-09543-9.
• Steuding, Jörn (2002). «Probabilistic number theory».
• Tenenbaum, Gérald (1995). Introduction to analytic and probabilistic number theory (vol. 46), Cambridge University Press.