Llei de Benford

Archiu:Rozklad benforda.svg

Distribució dels primers dígits segons la llei de Benford. Cada barra representa un dígit, i l'altura de la barra és el percentage de números que comencen per eixe dígit.

La llei de Benford (pel físic Frank Benford), també coneguda com la llei del primer dígit, assegura que, en gran varietat de conjunts de senyes numèriques que existixen en la vida real, la primera sifra és 1 en molta més freqüència que el restant dels números. Ademés, segons creix este primer dígit, menys provable és que es trobe en la primera posició. La llei també assegura certa freqüència per als següents dígits.

Esta llei es pot aplicar a molts fets relacionats en el món natural o en elements socials: factures, artículs en revistes, números de porta, preus, número d'habitants, taxes de mortalitat, llongitut dels rius, etcétera.

Història

En 1881 l'astrònom i matemàtic Simon Newcomb va observar que les primeres pàgines de les taules de logaritmos estaven manifestament més usades que les finals. Va deduir que aparentment els dígits inicials dels números (a lo manco els utilisats en el seu treball per els qui havien consultat les taules) no són equiprobables, sino que l'1 apareix com a dígit inicial més freqüent, seguit del 2, 3, etc. fins al 9 que és el menys freqüent. Per mig d'un breu i ingeniós raonament, encara que sense presentar realment un argument formal ni fòrmula matemàtica, Newcomb va enunciar verbalment una relació o llei logarítmica: “la llei de provabilitat de l'ocurrència de números és tal que les mantissas de les seues logaritmos són equiprobables” de la que va derivar provabilitats per al valor del primer dígit més significatiu. No obstant, no va presentar evidència estadística per a esta distribució dels dígits.

En 1938, i de manera independent, el físic Frank Benford va observar el mateix fenomen en les taules de logaritmos i va realisar una comprovació empírica sobre un total de 20.229 números agrupats en 20 mostres de gran diversitat: àrees fluvials, constants i magnituts físiques i químiques, funcions matemàtiques i inclús números de direccions de persones i presos de portades de revistes. A partir dels resultats empírics Benford va postular una “llei dels números anómals” per a la provabilitat de que el primer dígit siga d. Esta llei logarítmica es coneix com a “llei de Benford”.

Formulació matemàtica

Direm que un conjunt de números complix la llei de Benford si, en escriure-ho en notació decimal, la primera sifra significativa és d en provabilitat $p(X=d)={\log }_{10}(1+\frac{1}{d})={\log }_{10}(d+1)-{\log }_{10}(d)$. En primera sifra significativa nos referim al primer dígit (el més a l'esquerra) distint de 0.

Podem formular una llei per a les dos primeres sifres: la provabilitat de que les dos primeres sifres no nules siguen igual a n, en $10\le n\le 99$ és igual a $p(X=n)={\log }_{10}(n+1)-{\log }_{10}(n)$. D'un modo similar es pot enunciar una llei per a les tres primeres sifres, per a les quatre primeres sifres, etc.

Per al cas d'una successió $\{a_n\}$, es diu que és Benford si complix en les provabilitats abans descrites a llarc determini, és dir, si $\underset{N\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\mathrm{\#}\{n\le N:a_n\text{ tiene como primera cifra a d}\}}{N}={\log }_{10}(1+\frac{1}{d})$ per a cada $1\le d\le 9$.

Les successions sorgides d'equacions en recurrencia llineals complixen (baixe hipòtesis prou generals) la llei de Benford. Açò en particular inclou a les successions del tipo ${\alpha }^n$ (progressions geomètriques), sempre que $\alpha$ no siga una potència de 10.