Corrent (matemàtiques)

En matemàtiques, més particularment en anàlisis funcional, topología diferencial i teoria de la mida geomètrica, una corrent k en el sentit de Georges de Rham és una funcional en l'espai de formes k diferencials soportades de forma compacta, en una varietat suau M. Les corrents es comporten formalment com distribucions de Schwartz en un espai de formes diferencials, pero en un entorn geomètric, poden representar l'integració sobre una subvariedad, generalisant la funció delta de Dirac o, més generalment, inclús derivades direccionals de funcions delta (multipolos) distribuïdes a lo llarc de subconjunts de M.

Definició

Deixar ${\Omega }_c^m(M)$ denota l'espai de formes m planes en soport compacte en un colector pla $M$. Una corrent és un funcional llineal en ${\Omega }_c^m(M)$ que és continu en el sentit de distribucions. Aixina, un funcional llineal

$T:{\Omega }_c^m(M)\to ℝ$

és una corrent m-dimensional si és contínua en el següent sentit: Si una seqüència ${\omega }_k$ de formes suaus, totes soportades en el mateix conjunt compacte, és tal que totes les derivades de tots els seus coeficients tendixen uniformemente a 0 quan $k$ tendix a l'infinit, llavors $T({\omega }_k)$ tendix a 0.

L'espai ${𝒟}_m(M)$ de corrents m- dimensionals en $M$ és un espai vectorial real en operacions definides per

$(T+S)(\omega ):=T(\omega )+S(\omega ),(\lambda T)(\omega ):=\lambda T(\omega ).$

Gran part de la teoria de les distribucions es trasllada a les corrents en ajusts mínims. Per eixemple, es pot definir el respal d'una corrent $T\in {𝒟}_m(M)$ com a complement del major set obert $U\subset M$ tal que

$T(\omega )=0$ quan $\omega \in {\Omega }_c^m(U)$

El subespacio llineal de ${𝒟}_m(M)$ que consta de corrents en soport (en el sentit anterior) que és un subconjunt compacte de $M$ es denota ${ℰ}_m(M)$.

Teoria homológica

l'integració sobre un sub colector orientat rectificable compacte M (en llímit) de dimensió m definix una corrent m, denotada per $[[M]]$:

$[[M]](\omega )=\underset{M}{\int }\omega .$

Si el llímit ∂ M de M és rectificable, llavors també definix una corrent per integració, i en virtut del teorema de Stokes un té:

$[[\partial M]](\omega )=\underset{\partial M}{\int }\omega =\underset{M}{\int }d\omega =[[M]](d\omega ).$

Açò relaciona la derivada exterior d en l'operador de frontera ∂ en la homologia de M.

En vista d'esta fòrmula, podem definir un operador de llímit en corrents arbitràries

$\partial :{𝒟}_{m+1}\to {𝒟}_m$

via dualitat en la derivada exterior per

$(\partial T)(\omega ):=T(d\omega )$

per a totes les formes m compatibles de forma compacta ω.

Certes subclasses de corrents que estan tancades baix $\partial$ es pot utilisar en lloc de totes les corrents per a crear una teoria d'homologia, que pot satisfer els axioma de Eilenberg-Steenrod en certs casos. Un eixemple clàssic és la subclasse de corrents integrals en retracció veïnes de Lipschitz.

Vore també

• Georges de Rham
• Herbert Federer
• Geometria diferencial
• Varifold

Referències

• .
• .