1 + 2 + 4 + 8 + ⋯

En matemàtiques, 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ és la série infinita els térmens de la qual són les successives potències de dos. Com série geomètrica, es caracterisa pel seu primer terme, 1, i la seua raó comuna, 2. En ser una série de número real, no té llímit finito.

Archiu:Partial sums of 1+2+4+8.jpg

Les quatre primeres sumes parcials d'1 + 2 + 4 + 8 + ⋯.

La série pot ser manipulada per a aixina obtindre resultats matemàtics curiosos. Per eixemple, el sumatorio de Ramanujan d'esta série és -1, el qual és també el llímit de la série utilisant el sistema 2-ádico.

Suma

Les sumes parcials de $1+2+4+8+\cdots$ són $1,3,7,15,\dots$ perque divergixen cap a l'infinit.

$$2^0+2^1+\cdots +2^k=2^{k+1}-1$$

Qualsevol método de suma regular dona una suma de números infinits, incloent la sumación de Cesàro i la sumación d'Abel. Per una atra part, hi ha a lo manco un método útil que suma $1+2+4+8+\cdots$ cap al valor finito de −1. La següent série de potències $$f(x)=1+2x+4x^2+8x^3+\cdots +2^n{x}^n+\cdots =\frac{1}{1-2x}$$ té un radi de convergència en 0 de $\frac{1}{2}$, per lo tant no convergix en $x=1.$

No obstant, la funció $f$ té una única extensió analítica al pla complex en el punt $x=\frac{1}{2}$ eliminat, i ve donada per la mateixa regla $f(x)=\frac{1}{1-2x}.$ Com $f(1)=-1,$ es diu que la série original $1+2+4+8+\cdots$ és sumable (I) a −1, i −1 és la (I) sumixca de la série.

Una aproximació casi idèntica (l'adoptada pel propi Euler) és considerar la série de potències els coeficients de les quals són tots 1, açò és,$$1+y+y^2+y^3+\cdots =\frac{1}{1-y}$$i substituint en $y=2.$ Estes dos séries estan relacionats per la substitució $y=2x.$

El fet de que la sumación de Euler assigne un valor infinit a $1+2+4+8+\cdots$ mostra que el método general no és totalment regular. Per una atra part, posseïx atres qualitats desijables per a un método de suma, incloent estabilitat i linealidad. Estos dos axioma obliguen a que la suma siga −1, ya que fan vàlida la següent manipulació:

$\begin{array}{ccc}s& =& 1+2+4+8+16+\cdots \\ & =& 1+2(1+2+4+8+\cdots )\\ & =& 1+2s\end{array}$

$s=\mathrm{\infty }$ és una raïl de l'equació $s=1+2s.$ Per eixemple, $\mathrm{\infty }$ és un dels dos punts fixos de la transformació de Möbius $z\mapsto 1+2z$ en l'esfera de Riemann. Si es coneix algun método de suma que torne un número ordinari per a $s$, i no és $\mathrm{\infty },$ llavors es podrà determinar fàcilment. En este cas, $s$ pot ser restat a abdós costats de l'equació, donant $0=1+s,$ llavors $s=-1.$

Referències

• Plantilla:Versalitas, Leonhard (1760). “De seriebus divergentibus”. Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 5: 205–237.
• Plantilla:Versalitas, Tony (2002). Understanding infinity: the mathematics of infinite processes, Dover edició, Dover. ISBN 0-486-42538-X.
• Plantilla:Versalitas, G. H. (1949). Divergent Séries, Clarendon Press.

Vore també

• Série de Grandi
• 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• Complement dos