Sumación de Euler

En les matemàtiques de séries convergents i divergents, la sumación de Euler és un método de sumabilidad. És dir, es tracta d'un método per a assignar un valor a una série, diferent del método convencional de prendre llímits de sumes parcials. Donada una série Σa_n, si la transformada de Euler convergix a una suma, llavors eixa suma es diu la suma Euler de la série original.

Ademés de ser utilisat per a definir valors per a les séries divergents, la sumación de Euler pot ser utilisat per a accelerar la convergència de la série. La sumación de Euler es pot generalisar en una família de métodos denotat (I, q), a on q ≥ 0. La (I, 0) és la suma (convergent) usual, mentres que (I, 1) és la suma ordinària Euler. Tots estos métodos són estrictament més dèbils que la sumación de Borel; per a q > 0 que són incomparables en la sumación d'Abel.

Definició

La sumación de Euler s'utilisa sobretot per a accelerar la convergència de la série alterna i permet evaluar sumes divergents.

${}_{E_y}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_j:=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(1+y{)}^{i+1}}\sum _{j=0}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})y^{j+1}{a}_j.$

Per a justificar l'enfocament de la suma intercanviada, la sumación de Euler reduïx a la série inicial, perque

$y^{j+1}\sum _{i=j}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})\frac{1}{(1+y{)}^{i+1}}=1.$

Este método en sí no es pot millorar per mig de l'aplicació iterativa, com

${}_{E_{y_1}}{}_{E_{y_2}}\sum ={}_{E_{\frac{y_1{y}_2}{1+y_1+y_2}}}\sum .$

Eixemples

• Tenim $\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^j{P}_k(j)=\sum _{i=0}^k\frac{x^i}{(1-x{)}^{i+1}}\sum _{j=0}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})(-1{)}^{i-j}{P}_k(j)$, si $P_k$ és un polinomi de grau k. Tinga en conte que en este cas la sumación de Euler reduïx una série infinita a una suma finita.

• L'elecció particular $P_k(j):=(j+1{)}^k$ proporciona una representació explícita dels números de Bernoulli, ya que $\zeta (-k)=-\frac{B_{k+1}}{k+1}$. De fet, l'aplicació de la sumación de Euler als rendiments de la funció zeta$\frac{1}{1-2^{k+1}}\sum _{i=0}^k\frac{1}{2^{i+1}}\sum _{j=0}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})(-1{)}^j(j+1{)}^k$, que és polinòmic per a $k$ > un sancer positiu; cf. funció zeta de Riemann.

• $\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^j=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(1+y{)}^{i+1}}\sum _{j=0}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})y^{j+1}{z}^j=\frac{y}{1+y}\sum _{i=0}{\left(\frac{1+yz}{1+y}\right)}^i$. En una elecció apropiada de $y$ esta série convergix a $\frac{1}{1-z}$.

Vore també

• Sumación de Borel
• Sumación de Cesàro
• Sumación de Lambert
• Fòrmula de Perron
• Teoremes abeliano i tauberiano
• Fòrmula d'Abel-Plana
• Fòrmula de sumación d'Abel
• Transformació de Van Wijngaarden

Referències

• Korevaar, Jacob (2004). Tauberian Theory: A Century of Developments, Springer. ISBN 3-540-21058-X.
• Shawyer, Bruce i Bruce Watson (1994). Borel's Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP. ISBN 0-19-853585-6.
• Apostol, Tom M. (1974). Mathematical Analysis Second Edition, Addison Wesley Longman. ISBN 0-201-00288-4.