Fòrmula d'Abel-Plana

En matemàtiques, la Fòrmula d'Abel-Plana és una fòrmula descoberta independent per Abel (1823) i Plana (1820) en la que s'expressa resultat d'una série en funció de certes integrals. En concret:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}f(n)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx+\frac{1}{2}f(0)+i\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(iy)-f(-iy)}{e^{2\pi y}-1}dy.$

Esta fòrmula és vàlida per a funcions $f(z)$ que siguen holomorfas en la regió $\text{Re}(z)\ge 0$ del pla complex que satisfacen una condició de creiximent adequat en esta regió. Per eixemple, és condició suficient assumir que $|f(z)|$ està acotada per $C/|z{|}^{1+ϵ}$ en esta regió per a alguna constant $C>0$, encara que la fòrmula seguix sent vàlida per a cotes molt manco estrictes.Plantilla:Harv.

Per eixemple, es pot expressar a la funció zeta de Hurwitz com

fòrmula vàlida $\mathrm{\forall }s\in ℂ$. En el cas particular $\alpha =1$ tenim la funció zeta de Riemann, que es pot escriure com:

fòrmula també vàlida $\mathrm{\forall }s\in ℂ$. Abel també va desenrollar la següent fòrmula per a séries alternantes:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n}f(n)=\frac{1}{2}f(0)+i\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(iy)-f(-iy)}{2\sinh (\pi y)}dy.$

Vore també

• Fòrmula de Euler-Maclaurin
• Principi de l'argument
• Funció zeta de Riemann

Referències

• (1823).«Solution de quelques problèmes à l’aide d’integra'ls définies».
• (2011).«The summation formulae of Euler-Maclaurin, Abel-Plana, Poisson, and their interconnections with the approximate sampling formula of signal analysis».Results in Mathematics.59(3)

359–400.ISSN 1422-6383.doi:10.1007/s00025-010-0083-8.

• (1997).«Asymptotics and special functions».A K Peters Ltd..Wellesley, MA:
• (1820).«Sur unix nouvelle expression analytique dones noms Bernoulliens, propre à exprimer en termes finis la formule générale pour la sommation dones suites».Mem. Accad. Sci. Torino.25

403–418.