Principi de l'argument

El camí C (en negre), els zeros de f (en blava) i els pols de f (en roig).

En l'anàlisis complex, el principi de l'argument (o principi de l'argument de Cauchy) expressa que si f(z) és una funció meromorfa definida en el conjunt obert llimitat per un camí tancat C, tal que f no té zeros ni pols en C, llavors es complix la següent relació:

${\oint }_C\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz=2\pi i(N-P)$

a on N i P denoten respectivament el número de zeros i pols de f(z) en l'obert llimitat pel camí C, contant cada zero i pol tantes voltes com indique la seua multiplicitat i orde respectivament. En esta versió de la teorema se supon que el camí C és simple, és dir, sense corts en si mateixa, i que té una orientació antihoraria.

De manera més general, considere's una curva C, orientada en sentit antihorario, que es puga deformar fins a un punt en l'interior d'un conjunt obert Ω del pla complex. Per a cada punt z ∈ Ω, siga n(C,z) l'índex de C entorn al punt z. Llavors es té:

${\oint }_C\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz=2\pi i(\sum _{a}n(C,a)-\sum _{b}n(C,b))$

a on la primera suma recorre tots els zeros a de f, contats tantes voltes com indiquen les seues multiplicitat, i la segona suma recorre els pols b de f, contats tantes voltes com indiquen les seues órdens.

Demostració

Siga z_N un zero de f. Podem llavors escriure f(z) = (z − z_N)^kg(z), a on k és la multiplicitat del zero, i per tant, g(z_N) ≠ 0. Obtenim llavors:

$f^{\prime }(z)=k(z-z_N{)}^{k-1}g(z)+(z-z_N{)}^k{g}^{\prime }(z)$

i

$\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}=\frac{k}{z-z_N}+\frac{g^{\prime }(z)}{g(z)}.$

Ya que g(z_N) ≠ 0, se seguix que g' (z)/g(z) no té singularitats en z_N, i és per lo tant analítica en z_N, la qual cosa implica que el residu de f′(z)/f(z) en z_N serà k.

Siga z_P un pol de f. Podem llavors escriure f(z) = (z − z_P)^−mh(z), a on m és l'orde del pol, i per tant h(z_P) ≠ 0. Es té llavors:

$f^{\prime }(z)=-m(z-z_P{)}^{-m-1}h(z)+(z-z_P{)}^{-m}{h}^{\prime }(z).$

i

$\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}=\frac{-m}{z-z_P}+\frac{h^{\prime }(z)}{h(z)}$

de manera anàloga al cas anterior. D'ahí se seguix que h′(z)/h(z) no té singularitats en z_P ya que h(z_P) ≠ 0, i per tant és analítica en z_P. Es té llavors que el residu de f′(z)/f(z) en z_P és −m.

Combinant estos resultats, veem que cada zero z_N de multiplicitat k de f dona lloc a un pol simple (d'orde 1) per a f′(z)/f(z) de residu k, i cada pol z_P d'orde m de f dona lloc a un pol simple per a f′(z)/f(z) de residu −m. Ademés, pot demostrar-se que f′(z)/f(z) no té cap atre pol i, per lo tant, cap atre residu.

D'acort en el teorema dels residus, tindrem que l'integral sobre C és el producte de 2πi per la suma dels residus. Combinant estos resultats, la suma dels k per a cada zero z_N és el número de zeros contat tantes voltes com indique la seua multiplicitat, i lo mateix per als pols, de lo que se seguix el resultat buscat.

Conseqüències

El principi de l'argument té conseqüències sobre l'índex de f(z) entorn a l'orige. Si, per eixemple, C és un camí tancat centrat en l'orige, veem que l'integral de f′(z)/f(z) sobre C és igual a la variació en valor de log f(z). Ya que C és tancat solament necessitem considerar la variació en $i$ arg f(z) sobre C −, que serà un múltiple de 2π$i$ ya que C és tancat (pero pot donar més d'un regrés entorn a l'orige). Pero pel principi de l'argument:

${\oint }_C\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz=2\pi i(N-P)$

els factors de 2π$i$ es cancelen i nos quedarà:

$N-P=I(C,0)$

a on I(C,0) denota l'índex de f sobre C en 0.

El teorema de Rouché es recolza en el principi de l'argument.

Vore també

• Derivada logarítmica

Referències

• Rudin, Walter (1986). Real and Complex Analysis (International Séries in Pure and Applied Mathematics), McGraw-Hill.
• Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis, McGraw-Hill.
• Churchill, Ruel Vance; Brown, James Ward (1989). Complex Variables and Applications, McGraw-Hill.