1 − 2 + 3 − 4 + ⋯

   

Archiu:Pm1234 Ground.png

Els primers mils de térmens i sumes parcials de 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯. El gràfic se situa en sancers positius a la dreta i sancers negatius a l'esquerra

En matemàtiques, l'expressió 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ és una série alternada els térmens de la qual són els números sancers, alternant signes. Utilisant la notació matemàtica para sumatorias, la suma dels primers m térmens de la série s'expressa com:

$S_m=\sum _{n=1}^{m}n(-1{)}^{n-1}.$

És una série divergent, en el sentit de que la successió de les seues sumes parcials (1, −1, 2, −2, …) no tendix a cap llímit finito. De forma equivalent es diu que 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ no posseïx suma.

No obstant, a mitan de el XVIII, Leonardo Euler «va demostrar» la següent relació, calificant-la de paradòxica:

$1-2+3-4+\cdots =\frac{1}{4}.$

No seria fins a molt temps despuix que es conseguiria donar en una explicació rigorosa de dita relació. Cap a començos de la década de 1890, Ernesto Cesàro i Émile Borel entre uns atres, varen investigar métodos ben definits per a trobar sumes generalisades de les séries divergents, incloent noves interpretacions dels intents realisats per Euler. Molts d'estos métodos denominats de sumación li assignen a 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ una «suma» de ¹⁄₄. El método de suma de Cesàro és un dels pocs métodos que no suma la série 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯, per lo que esta série és un eixemple d'un cas a on deu utilisar-se un método més robust com per eixemple el método de suma d'Abel.

La série 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ es troba relacionada en la série de Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·. Euler va analisar estes dos séries com a casos especials de (1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + · · ·) per a valors de n arbitraris, una llínea d'investigació que estén la seua contribució al problema de Basilea i conduïx a les equacions funcionals de lo que coneixem hui com la funció eta de Dirichlet i la funció zeta de Riemann.

Divergència

Els térmens de la successió, (1, −2, 3, −4, …), no s'aproximen al 0; per lo tant la série 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ divergix segons el test del terme. Com a base dels anàlisis en seccions subsegüents, és útil analisar la divergència en un nivell més fonamental. Per definició, la convergència o divergència d'una série infinita es determina analisant la convergència o divergència de la successió de les seues sumes parcials, i en este cas les sumes parcials de 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ són:

$S_1=1=1$,

$S_2=1-2=-1$

$S_3=1-2+3=2$,

$S_4=1-2+3-4=-2$,

$S_5=1-2+3-4+5=3$,

$S_6=1-2+3-4+5-6=-3$,

…

$Sm=\sum _{n=1}^m(-1{)}^{n-1}n=\frac{(-1{)}^{m-1}(2m+1)+1}{4}$

Esta successió es destaca per contindre una volta a cada u dels números sancers —encara al zero si es conta a la suma parcial buida— i per lo tant establix la numerabilidad del conjunt $\mathbb{Z}$ dels sancers. Clarament no s'aproxima ni convergix a cap número en particular, per lo tant 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ divergix.

Relacions heurístiques de suma

Les explicacions més simples que relacionen a 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ en el valor ¹⁄₄ són extensions de resultats relacionats en la série 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·.

Estabilitat i linealidad

Ya que els térmens (1, −2, 3, −4, 5, −6…) seguixen un patró simple, es pot expressar a la série 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ com una versió transformada de sí mateixa i resoldre l'equació resultant per a obtindre un valor numèric. Suponent que fora correcte expressar s = 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ per a algun número s, les següents relacions conduïxen a mostrar que s = ¹⁄₄:

Archiu:Pm1234 linearity.svg

Sumant 4 còpies de 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯, utilisant únicament desplaçaments i sumant terme a terme s'obté 1.

s	= 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯
	= (1 − 1 + 1 − 1 + · · · ) + (0 − 1 + 2 − 3 + · · · )
	= h − s,

a on h és la «suma» de la série:

h	= 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·
	= 1 − (1 − 1 + 1 − · · · )
	= 1 − h.

Resolent les equacions h = 1 − h i s = h − s s'obté que h = ¹⁄₂ i s = ¹⁄₄.

En forma equivalent, es pot reordenar les equacions de forma tal d'obtindre (s + s) + (s + s) = h + h = 1, lo que novament implica que s = ¹⁄₄; sent esta la forma que es mostra en l'esquema a la dreta i en l'expressió a continuació.

    s = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + . . . . . 
    s =   + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . . . . 
    s =   + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . . . . . 
    s =       + 1 - 2 + 3 - 4 + . . . . . . . 
--------------------------------------------
  4 s = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + . . . 

Si be la série 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ no posseïx una suma en el sentit usual, l'equació s = 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ = ¹⁄₄ pot ser interpretada com la solució més natural en el cas de que s'anara a definir el valor de dita suma. Una definició generalisada de «suma» d'una série divergent és cridat método de sumación; existixen varis tipos diferents de métodos, alguns dels quals s'expliquen en les seccions següents, els quals es caracterisen per les propietats que compartixen en la suma convencional.

Les manipulacions mostrades prèviament demostren que: donat un método de sumación que és llineal i estable, si el mateix suma a la série 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ llavors la suma deu ser ¹⁄₄, i eixe método també permetrà sumar a la série de Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + · · · tirant el valor ¹⁄₂.

A pesar de que l'enfocament explicat en el paràgraf previ llimita els valors que poden prendre les sumes generalisades de 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯, el mateix no indica cuales són els métodos que permetran sumar o no la série. En efecte, alguns métodos de sumación llineals i estables, tals com la suma ordinària, no sumen a la série 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯. Si en canvi, s'expressa la série en una forma alternativa com un producte, llavors és possible determinar cuales són els métodos que permeten obtindre ¹⁄₄.

Producte de Cauchy

Ya en 1891, Ernesto Cesàro pensava que les séries divergents serien incorporades en el futur al càlcul matemàtic d'una manera rigorosa, indicant que, «hui ya és possible escriure les expressions (1 − 1 + 1 − 1 + · · ·)² = 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ i afirmar que abdós costats de l'igualtat posseïxen el valor 1/4.» Per a Cesàro, esta equació era el resultat d'aplicar una teorema que ell havia publicat durant l'any previ, sent dit teorema el primer en l'història de les séries divergents sumables. Els detalls del seu método de sumación s'expliquen en seccions subsegüents; l'idea central és que 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ és el producte de Cauchy d'1 − 1 + 1 − 1 + · · · en 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·.

El producte de Cauchy de dos séries infinites es definix encara si abdós són divergents. En el cas en que Σa_n = Σb_n = Σ(−1)ⁿ, els térmens del producte de Cauchy s'obtenen per mig de la suma de les sumes finitas de les diagonals:

$\begin{array}{ccc}{c}_n& =& \sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(-1{)}^{n-k}\\ & =& \sum _{k=0}^n(-1{)}^n=(-1{)}^n(n+1).\end{array}$

Per lo tant la serie producte resulta ser:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n(n+1)=1-2+3-4+\cdots .$

Per lo tant els métodos de sumación que «respecten» el producte de Cauchy de dos séries i sumen 1 − 1 + 1 − 1 + · · · = ¹⁄₂, també sumen 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ = ¹⁄₄. I en concordancia en els resultats de la secció prèvia, açò implica una equivalència entre la sumabilidad d'1 − 1 + 1 − 1 + · · · i 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ , per a métodos que són llineals, estables, i respecten el producte de Cauchy.

La teorema de Cesàro és un eixemple sotil. La série 1 − 1 + 1 − 1 + · · · és sumable Cesàro en un sentit dèbil, identificat com sumable (C, 1), mentres que 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ requerix l'us d'una forma més poderosa de la teorema de Cesàro >, sent sumable (C, 2). Ya que totes les formes de la teorema de Cesàro són llineals i estables, les sumes resulten en els valors indicats prèviament.

Referències

• Beals, Richard (2004). Analysis: an introduction (en anglés), Cambridge: Cambridge UP. ISBN 0-521-60047-2.
• Davis (1989). Fourier Séries and Orthogonal Functions (en anglés), Nova York: Dover Publications. ISBN 0-486-65973-9.
• Euler (1768)The Euler Archive (orig. en Memoires de l'acdemie dones sciences de Berlin, 17, 1768, pp. 83-106).
• 54(2)

101-135.

• Grattan-Guinness (1970). The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann (en anglés), Cambridge: MIT Press. ISBN 0-262-07034-0.
• Hardy, G. H. (1949). Divergent Séries, Clarendon Press.
• 56(5)

307-314.

• Lavine, Shaughan (1994). Understanding the Infinite, Cambridge: Harvard University Press. ISBN 0-674-92096-1.
• Markushevich, A. I. (1967). Series: fonamental concepts with historical exposition, English translation of 3rd revised edition (1961) in Russian edició (en anglés), Hindustan Pub. Corp..
• (1996) Distributions in the Physical and Engineering Sciences (en anglés), Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-3924-1.
• 10(1-2)

1-40.

• Vretblad, Anders (2003). Fourier Analysis and Its Applications (en anglés), Nova York: Springer. ISBN 0-387-00836-5.

• Weidlich, John E. (juny de 1950). Summability methods for divergent séries, Stanford M.S. theses.