Producte de Cauchy

En matemàtiques, el producte de Cauchy, (en honor a Augustin Louis Cauchy), de dos séries estrictament formals (encara que no necessàriament convergents)

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n,\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n,$

per lo general, de números reals o complexos, es definix per mig d'una convolución discreta. Sent el producte de Cauchy:

$\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n,\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}{c}_n=\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k},\text{o bien, }{c}_n=\sum _{i+j=n}{a}_i{b}_j$

per a n = 0, 1, 2,...

"Formal" significa que les séries es manipulen sense prestar atenció a aspectes de convergència. No cal que les séries siguen convergents. Vore per eixemple Série de potències formal.

És d'esperar, que per analogia en les sumes finitas, en el cas en que les dos séries foren convergents, la suma de la série infinita

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n$

siga igual al producte

$\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\right)\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n\right)$

de la mateixa manera en que açò seria correcte quan cada una de les dos sumes que es multipliquen posseïx un número finito de térmens.

En casos suficientment ben comportats, es complix en l'expressió anterior. Pero —i est és un punt important— el producte de Cauchy de dos successions existix encara en el cas de que una o abdós de les séries infinites corresponents no foren convergents.

Eixemples

Serie finita

$x_i=0$ para tot $i>n$ i $y_i=0$ para tot $i>m$. En este cas el producte de Cauchy de $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_i$ i $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{y}_i$ es verifica és $(x_0+\cdots +x_n)(y_0+\dots +y_m)$. Per lo tant, per a séries finitas (que són sumes finitas), la multiplicació de Cauchy és directament la multiplicació de les séries.

Série infinita

• Primer eixemple. Sean $a,b\in ℝ$, siga $x_n=a^n/n!$ i $y_n=b^n/n!$. Llavors

$C(x,y)(n)=\sum _{i=0}^n\frac{a^i}{i!}\frac{b^{n-i}}{(n-i)!}=\frac{(a+b{)}^n}{n!}$

per definició i per la fòrmula binomial. Ya que, formalment, $\exp (a)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$ i $\exp (b)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{y}_n$, s'ha demostrat que $\exp (a+b)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}C(x,y)(n)$. Com el llímit del producte de Cauchy de dos séries absolutament convergents és igual al producte dels llímits d'eixes séries (vore davall), s'ha demostrat per lo tant la fòrmula $\exp (a+b)=\exp (a)\exp (b)$ para tot $a,b\in ℝ$.

• Segon eixemple. Siga $x_n=1$ para tot $n\in \mathbb{N}$. Llavors $C(x,x)(n)=n+1$ para tot $n\in \mathbb{N}$. Per lo tant el producte de Cauchy $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}C(x,x)(n)=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\dots )$ i no és convergent.

Convergència i teorema de Mertens

Artícul principal → Teoremes de Mertens.

Siguen x, i successions reals. Franz Mertens va demostrar que si la série $\sum y$ convergix a I i la série $\sum x$ convergix absolutament a X llavors el producte de Cauchy d'elles $\sum C(x,y)$ convergix a XY. No és suficient en que abdós séries siguen condicionalmente convergents. Per eixemple, la successió $x_n=(-1{)}^n/\sqrt{n+1}$ genera una série condicionalmente convergent pero la successió $C(x,x)$ no convergix a 0. Vore la demostració a continuació.

Demostració de la teorema de Mertens

Siga $X_n=\sum _{i=0}^n{x}_i$, $Y_n=\sum _{i=0}^n{y}_i$ i $C_n=\sum _{i=0}^{n}C(x,y)(i)$. Llavors $C_n=\sum _{i=0}^n\sum _{k=0}^i{x}_k{y}_{i-k}=\sum _{i=0}^n{Y}_i{x}_{n-i}$ si es reordena. Per lo tant $C_n=\sum _{i=0}^n(Y_i-Y)x_{n-i}+Y{X}_n$. Fixant un $ϵ>0$. Ya que $\sum x$ és absolutament convergent i $\sum y$ és convergent llavors existix un sancer N tal que para tot $n\ge N$ $|Y_n-Y|<\frac{ϵ/4}{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}|x_n|+1}$ i un sancer M tal que para tot $n\ge M$ $|x_{n-N}|<\frac{ϵ}{4N\sup |Y_n-Y|+1}$ (ya que la série convergix, la successió deu convergir a 0). També, existix un sancer L tal que si $n\ge L$ llavors $|X_n-X|<\frac{ϵ/2}{|Y|+1}$. Per lo tant,

$|C_n-XY|=|\sum _{i=0}^n(Y_i-Y)x_{n-i}+Y(X_n-X)|\le \sum _{i=0}^{N-1}|Y_i-Y||x_{n-i}|+\sum _{i=N}^n|Y_i-Y||x_{n-i}|+|Y||X_n-X|<ϵ$

per a tots els sancers n majors que N, M, i L. Per la definició de convergència d'una série $\sum C(x,y)\to XY$.

Referències

• (1974).«Mathematical Analysis».Addison Wesley.
• (1949).«Divergent Séries».Oxford University Press.