Introductio in analysin infinitorum

Introductio in analysin infinitorum (Introducció a l'anàlisis de l'infinit) és un treball en dos volums obra de Leonhard Euler, que va assentar les bases del anàlisis matemàtic. Escrit en llatí i publicat en 1748, el Introductio conté 18 capítuls en la primera part i 22 capítuls en la segona. Els seus números Eneström de referència són E101 i E102. És considerat el primer text d'anàlisis matemàtic realment modern.

Introductio in analysin infinitorum

Pàgina del Introductio in analysin infinitorum, 1748

El número i d'Euler correspon a l'àrea sombreada igual a 1, propietat presentada en el capítul VII

Repercussió històrica

Durant les conferències presentades en el Congrés Internacional de Matemàtics de 1950, Carl Boyer va comparar l'influència de la Introducció de Euler en la dels Elements d'Euclides, cridant als Elements el principal llibre de text dels temps antics, i a la Introducció "el principal llibre de text dels temps moderns". Boyer també va escriure:

La primera traducció a l'anglés va ser la de John D. Blanton, publicada en 1988. Una segona traducció, de Ian Bruce, està disponible en llínea. V. Frederick Rickey va recopilar una llista de les edicions de la Introductio.

D'acort en Henk Bos,

La Introducció s'entén com un estudi de conceptes i métodos en anàlisis i geometria analítica preliminar a l'estudi del càlcul diferencial i integral. [Euler] va fer d'esta recopilació de l'informació de partida un eixercici magistral per a introduir la major cantitat possible d'anàlisis sense utilisar la diferenciació o l'integració. En particular, va introduir les funcions transcendentals elementals, el logaritmo, la funció exponencial, les funcions trigonométricas i les seues inverses sense recórrer al càlcul integral, lo que va anar un ardit, ya que el logaritmo estava tradicionalment vinculat a la quadratura de l'hipérbola i a les funcions trigonométricas relacionades en la llongitut de l'arc del círcul.

Contingut

El capítul 1 tracta sobre els conceptes de variables i funcions. El Capítul 4 introduïx les séries infinites a través de les funcions racionals.

Segons s'expon en el capítul 6, Euler introduïx l'exponenciación a^x per a la constant arbitrària a en els número real positius, senyalant que aplicar a x esta correspondència no és una funció algebraica, sino més be una funció transcendent. Para a>1, estes funcions són monòtones i formen biyecciones de la recta real en els número real positius. Llavors, cada base a correspon a una funció inversa cridada logaritme en base a.

En el capítul 7, es presenta i com el número que el seu logaritme hiperbòlic és 1. La referència ací és a Grégoire de Saint-Vincent, qui va trobar una quadratura de l'hipérbola i = 1/x per mig de la descripció del logaritme hiperbòlic. La secció 122 denomina el logaritme en base i com "logaritme natural o hiperbòlic ... ya que la quadratura de l'hipérbola pot expressar-se a través d'estos logaritmes". També inclou la série exponencial:

$\exp (z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k!}=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\frac{z^4}{24}+\cdots$

En el capítul 8, Euler ya ha assentat les bases per a abordar les funcions trigonométricas clàssiques com "cantitats trascendentes que sorgixen del círcul". Utilisa el círcul unitari i presenta la denominada en el seu honor fòrmula de Euler.

En el capítul 9 considera els factors trinomiales en els polinomis.

El capítul 16 es referix a les particions, un tema pertanyent a la teoria de números, i a les fraccions contínues.