Turbulència quàntica

La turbulència quàntica és el nom que rep el fluix turbulento -el moviment caòtic d'un decorregut a altes velocitats de fluix- dels decorreguts quàntics, com els superfluits. L'idea de que una forma de turbulència podria ser possible en un superfluit a través de les llínees de vórtice cuantizadas va ser sugerida per primera volta per Richard Feynman. La dinàmica dels decorreguts quàntics es rig per la mecànica quàntica, i no per la física clàssica que rig els decorreguts clàssics (ordinaris). Alguns eixemples de decorreguts quàntics són l'heli superfluit (⁴He i parells de Cooper de ³He), els condensados de Bose-Einstein (BEC, per les seues sigles en anglés), els condensados de polaritones i la pasta nuclear que es creu que existix en l'interior de les estreles de neutrons. Els decorreguts quàntics existixen a temperatures inferiors a la temperatura crítica $T_c$ a la que es produïx la condensació de Bose-Einstein.

Propietats generals dels superfluits

Fig 1. Diagrama esquemàtic d'un decorregut (blau) en un recipient cilíndric. Esquerra: la curva $C$ traça una trayectòria tancada en una regió simplement conectada. La trayectòria pot reduir-se fins al punt $P$ i, per tant, es pot aplicar la teorema de Stokes. Per a un decorregut quàntic, açò indica que la circulació desapareix. Dreta: La curva $C$ traça una trayectòria tancada en una regió de múltiples conexions (és dir, en forats). La trayectòria no pot reduir-se pel forat i, per tant, la teorema de Stokes no es complix, lo que conduïx a una circulació cuantizada distinta de zero. Per a un decorregut quàntic, açò sugerix que les estructures de vórtice actuen com "forats".

Fig 2. Esquerra: Esquema simple d'una llínea recta de vórtice en un espai tridimensional, en circulació positiva. Centre: Velocitat assimutal front al radi. (i) mostra la velocitat del decorregut d'un cos sòlit en rotació. (ii) mostra la velocitat del decorregut d'un vórtice en decorreguts clàssics i quàntics. (iii) una combinació de (i) i (ii) per a formar un model de vórtice Rankine per a un tornado en núcleu de tamany $a_0$. Dreta: Densitat numèrica front al radi d'un decorregut quàntic en vórtice $a_0$. Es pot observar l'agotament de la densitat per a un radi chicotet $r<a_0$. La cantitat $n_s$ representa la densitat del decorregut suficientment alluntat del núcleu del vórtice $r>a_0$

Fig 3. Esquerra: esquema d'un anell de vórtice de radi $R$ que es mou a una velocitat $v_R$. Centre: esquema tridimensional d'un anell vorticial quàntic. La velocitat de l'anell la genera el propi anell, que es propulsa a una velocitat inversamente proporcional al radi de l'anell. La gruixa de l'anell està molt exagerat per a poder vore la seua forma de bou. En realitat, per a l'heli II la gruixa és d'aproximadament $10^{-10}\text{m}$. Dreta: El perfil de velocitat de l'anell de vórtice front al seu tamany. S'observa una relació inversa. Açò sugerix que els anells més menuts es mouen a una velocitat molt major, mentres que els anells més grans ho fan a una velocitat molt menor

La turbulència dels decorreguts quàntics s'ha estudiat principalment en dos decorreguts quàntics: el Heli líquit i els condensados atòmics. S'han realisat observacions experimentals en els dos isòtops estables de l'Heli, el comú ⁴He i el rar ³He. Este últim isòtop té dos fases, denominades fase A i fase B. La fase A és fortament anàloga a la fase B i la fase B és fortament anàloga a la fase B. La fase A és fortament anisótropa i, encara que posseïx propietats hidrodinàmiques molt interessants, els experiments de turbulència s'han realisat casi exclusivament en la fase B. L'heli es licua a una temperatura d'aproximadament 4K. A esta temperatura, el decorregut es comporta com un decorregut clàssic en una viscosidad extraordinàriament menuda, denominat heli I. Despuix d'un major refredat, l'heli I experimenta una condensació de Bose-Einstein en un superfluit, denominat heli II. La temperatura crítica $T_c$ per a la condensació de Bose-Einstein de l'heli és de 2,17K (a la pressió de vapor saturada), mentres que per a el ³He-B és de només uns pocs mK.

Encara que en els condensados atòmics no hi ha tantes proves experimentals de turbulència com en el Heli, s'han realisat experiments en rubidi, sodi, cesi, liti i atres elements. La temperatura crítica d'estos sistemes és de l'orde de micro-Kelvin.

Hi ha dos propietats fonamentals dels decorreguts quàntics que els distinguixen dels decorreguts clàssics: la superfluidez i la circulació cuantizada.

Superfluidez

La superfluidez sorgix com a conseqüència de la relació de dispersió de les excitació elementals, i els decorreguts que presenten este comportament fluïxen sense viscosidad. Es tracta d'una propietat vital per a la turbulència quàntica, ya que la viscosidad en els decorreguts clàssics provoca el malbarat de l'energia cinètica en calor, amortiguando el moviment del decorregut. Landau va predir que si un superfluit fluïx més ràpit que una certa velocitat crítica $v_c$ (o alternativament un objecte es mou més ràpit que $v_c$ en un decorregut estàtic) s'emeten excitació tèrmiques (rotones) a mida que es torna energèticament favorable generar cuasipartículas, lo que provoca que el decorregut deixe de mostrar propietats superfluidas. Per a l'heli II, esta velocitat crítica és $v_c\approx 60\text{m/s}$.

Circulació cuantizada

La propietat de circulació cuantizada sorgix com a conseqüència de l'existència i unicitat d'una funció d'ona macroscòpica complexa $\Psi$ que afecta a la vorticidad (rotació local) d'un modo molt profunt, lo que la fa crucial per a la turbulència quàntica.

La velocitat i la densitat del decorregut es poden recuperar a partir de la funció d'ona $\Psi (𝐱,t)$ escrivint-la en forma polar $\Psi (𝐱,t)=|\Psi (𝐱,t)|e^{i\varphi (𝐱,t)}$a on $|\Psi |$ és la magnitut de $\Psi$ i $\varphi$ és la fase. La velocitat del decorregut és llavors $𝐯(𝐱,t)=(\hslash /m)\mathrm{\nabla }\varphi$ i la densitat numèrica és $n(𝐱,t)=|\Psi {|}^2$. La densitat de massa es relaciona en la densitat de número per mig de $\rho (𝐱,t)=mn$ a on $m$ és la massa d'un bosón.

La circulació $\Gamma$ es definix com l'integral de llínea a lo llarc d'una trayectòria tancada simple $C$ dins del decorregut

$\Gamma ={\oint }_C𝐯\cdot 𝐝𝐫$

Per a una superfície simplement conectada $S$ es complix el teorema de Stokes i la circulació desapareix, ya que la velocitat pot expressar-se com el gradient de la fase. Per a una superfície de conexions múltiples, la diferència de fase entre un punt inicial arbitrari de la curva $C$ i el punt final (igual al punt inicial com $C$ està tancada) deu ser $2\pi q$ a on $q=0,1,2,\cdots$ per a que la funció d'ona siga monovaluada. Açò conduïx a un valor cuantizado per a la circulació

$\Gamma =\frac{\hslash }{m}{\oint }_C\mathrm{\nabla }S\cdot 𝐝𝐫=q\kappa$

a on $\kappa =h/m$ és el quant de circulació, i el sancer $q$ és la càrrega (o número de enrollamiento) del vórtice. Els vórtices en càrrega múltiple ($q>1$) en heli II són inestables i per esta raó en la majoria de les aplicacions pràctiques $q=1$. És energèticament favorable per al decorregut formar $q$ vórtices de càrrega única en lloc d'un únic vórtice de càrrega $q$ per lo que un vórtice de càrrega múltiple es dividiria en vórtices de càrrega simple. En determinades condicions, és possible generar certs vórtices en una càrrega superior a 1.

Propietats de les llínees de vórtice

Les llínees de vórtice són defectes topològics de llínea de la fase. El seu nucleación fa que la regió del decorregut quàntic es convertixca en una regió multiconectada. Com s'indica en la Fig. 2, es pot observar un agotament de la densitat prop de l'eix, en $\rho =0$ en la llínea del vórtice. El tamany del núcleu del vórtice varia entre els distints decorreguts quàntics. El tamany del núcleu del vórtice és d'al voltant de $a_0=10^{-10}\text{m}$ per a l'heli II, $a_0=10^{-8}\text{m}$ para 3He-B i per a condensados atòmics típics $a_0=10^{-4}\text{m}$. El sistema de vórtice més simple en un decorregut quàntic consistix en una única llínea recta de vórtice; el camp de velocitat de dita configuració és purament assimutal dau per $v_{\theta }=\kappa /2\pi r$. Esta és la mateixa fòrmula que per a una solució clàssica de llínea de vórtice de l'equació de Euler, no obstant, clásicamente, este model és físicament poc realiste ya que la velocitat divergix com $r\to 0$. Açò nos du a l'idea del vórtice de Rankine, com es mostra en la figura 2, que combina la rotació del cos sòlit per a menuts valors de $r$ i moviment de vórtice per a valors grans de $r$ i constituïx un model més realiste dels vórtices clàssics ordinaris.

Es poden establir moltes similituts en els vórtices dels decorreguts clàssics, per eixemple, el fet de que les llínees de vórtice obedixquen la teorema clàssica de la circulació de Kelvin: la circulació es conserva i les llínees de vórtice deuen terminar en els llímits o existir en forma de bucles tancats. En el llímit de temperatura zero, un punt d'una llínea de vórtice es desplaçarà segons el camp de velocitat generat en eixe punt per les demés parts de la llínea de vórtice, sempre que la llínea de vórtice no siga recta (un vórtice recte aïllat no es mou). La velocitat també pot ser generada per qualsevol atra llínea de vórtice del decorregut, un fenomen també present en els decorreguts clàssics. Un eixemple senzill és un anell de vórtices (un vórtice en forma de bou) que es mou en una velocitat autoinducida $v_R$ inversamente proporcional al radi de l'anell $R$ a on $R>>a_0$.Tot l'anell es mou a una velocitat

$v_R=\frac{\kappa }{4\pi R}[\ln \left(\frac{8R}{a_0}\right)-\frac{1}{2}]$

Ones Kelvin i reconexiones de vórtices

Fig 4. Esquerra: esquema d'una ona Kelvin en amplitut $A$ i llongitut d'ona $\lambda$. Dreta: Una configuració de vórtice recte que ha segut pertorbada en una configuració de vórtice doblat.

Fig 5. Esquema de reconexión de dos vórtices. Les fleches en els vórtices representen la direcció de la vorticidad en la llínea del vórtice. Esquerra: abans de la reconexión. Centre: Es produïx la reconexión de vórtices. Dreta: despuix de la reconexión.

Els vórtices en decorreguts quàntics soporten ones Kelvin, que són destorbament helicoidals d'una llínea de vórtice que s'allunten de la seua configuració recta i que giren a una velocitat angular $\omega$ en

$\omega \approx \frac{\kappa k^2}{4\pi }\ln \left(\frac{1}{k{a}_0}\right)$

Ací $k=2\pi /\lambda$ a on $\lambda$ és la llongitut d'ona i $k$ és el vector d'ona.

Els vórtices viagers en decorreguts quàntics poden interactuar entre sí, lo que dona lloc a reconexiones de les llínees de vórtices i, en última instància, a un canvi en la topología de la configuració dels vórtices quan choquen, tal i com va sugerir Richard Feynman. A temperatures distintes de zero, les llínees de vórtice dispersen les excitació tèrmiques, lo que crea una força de fricció en el component normal del decorregut (núvol tèrmic per als condensados atòmics). Este fenomen provoca el malbarat d'energia cinètica. Per eixemple, els anells de vórtice s'encolliran i les ones Kelvin disminuiran la seua amplitut.

Entramat de vórtices

Fig 6. Esquema d'un recipient cilíndric que gira a una velocitat $\Omega$ formant una ret de vórtices de sis llínees rectes.

Les rets de vórtices són configuracions laminares (ordenades) de llínees de vórtices que poden crear-se per mig de la rotació del sistema. Per a un recipient cilíndric de radi $R$ es pot establir una condició per a la formació d'una ret de vórtices minimisant l'expressió $F^{\prime }=F-{𝐋}_v\cdot 𝜴$ a on $F$ és l'energia lliure, ${𝐋}_v$ és el moment angular del decorregut i $𝜴$ és la rotació, en magnitut $\Omega$ i direcció axial. La velocitat crítica per a l'aparició d'una ret de vórtices és llavors ${\Omega }_c^1=\frac{\kappa }{R^2}\ln \left(\frac{R}{a_0}\right)$.

Superar esta velocitat permet que es forme un vórtice en el decorregut. Es poden formar estats en més vórtices aumentant encara més la rotació, més allà de les següents velocitats crítiques ${\Omega }_c^2,{\Omega }_c^3,\cdots$. Els vórtices s'organisen en configuracions ordenades que es denominen celosías de vórtices.

Dos naturalea decorregudes

Archiu:Helium- caps block 37 component densities.png

Fig 7. Fraccions de components traçades front a la temperatura, mostrant la mescla de decorregut normal i superfluit en heli II, a on ${\rho }_s/\rho$ és la fracció de superfluit, i ${\rho }_n/\rho$ és la fracció de decorregut normal. Per a temperatures superiors a la temperatura crítica, el decorregut normal constituïx la totalitat del decorregut.

A temperatura distinta de zero $T$ deuen tindre's en conte els efectes tèrmics. Per als gasos atòmics a temperatures distintes de zero, una fracció dels àtoms no forma part del condensado, sino que forma un núvol tèrmic enrarit (gran recorregut mig lliure) que coexistix en el condensado (que, en la primera aproximació, pot identificar-se en el component superfluit). Ya que l'heli és un líquit, i no un gas diluït com els condensados atòmics, existix una interacció molt més forta entre els àtoms, i el condensado és només una part del component superfluit. Les excitació tèrmiques (constituïdes per fonones i rotones) formen un component decorregut viscós (recorregut mig lliure molt curt, anàlec al decorregut viscós clàssic regit per l'equació de Navier-Stokes), denominat decorregut normal, que coexistix en el component superfluit. Açò constituïx la base de la teoria dels dos decorreguts de Tisza i Landau, que descriu l'heli II com la mescla de components superfluit i decorregut normal que coexistixen, en una densitat total dictada per l'equació $\rho ={\rho }_n+{\rho }_s$. La taula mostra les propietats clau dels components superfluit i decorregut normal:

Component	velocitat	densitat	entropía	viscosidad
superfluit	${𝐯}_s$	${\rho }_s$	zero	zero
decorregut clàssic	${𝐯}_n$	${\rho }_n$	$S$	$\mu$

Les proporcions relatives dels dos components canvien en la temperatura, des d'un fluix de decorregut totalment normal a la temperatura de transició $T_c$ (${\rho }_n/\rho \to 1$ i ${\rho }_s/\rho \to 0$), a un fluix superfluit complet en el llímit de temperatura zero (${\rho }_s/\rho \to 1$ i ${\rho }_n/\rho \to 0$). A velocitats menudes, les equacions dels dos decorreguts són

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot ({\rho }_s{𝐯}_s+{\rho }_n{𝐯}_n)=0$

$\frac{\partial (\rho S)}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (\rho S{𝐯}_n)=0$

${\rho }_s[\frac{\partial {𝐯}_s}{\partial t}+({𝐯}_s\cdot \mathrm{\nabla }){𝐯}_s]=-\frac{{\rho }_s}{\rho }\mathrm{\nabla }P+{\rho }_{s}S\mathrm{\nabla }T$

${\rho }_n[\frac{\partial {𝐯}_n}{\partial t}+({𝐯}_n\cdot \mathrm{\nabla }){𝐯}_n]=-\frac{{\rho }_n}{\rho }\mathrm{\nabla }P-{\rho }_{s}S\mathrm{\nabla }T+\mu {\mathrm{\nabla }}^2{𝐯}_n$

a on $P$ és la pressió, $S$ és la entropía per unitat de massa i $\mu$ és la viscosidad del component normal del decorregut, com s'indica en la taula anterior. La primera d'estes equacions pot identificar-se com l'equació de conservació de la massa, mentres que la segona pot identificar-se com la de conservació de la entropía. Els resultats d'estes equacions donen lloc als fenomens del segon sò i del contraflujo tèrmic. A grans velocitats, el superfluit es torna turbulento i apareixen llínees de vórtice; a velocitats encara majors, tant el decorregut normal com el superfluit es tornen turbulentos.

Turbulència clàssica front a turbulència quàntica

Fig 8. Diagrama esquemàtic de la cascada d'energia de Kolmogorov en l'interior d'un túnel de vent. L'injecció d'aire es produïx $k_D=2\pi /D$ a on $D$ és el tamany del túnel de vent. La cantitat $k_{\eta }$, l'número de Kolmogorov, és el valor en l'espai k associat a l'escala de llongitut de Kolmogorov, el punt en el que l'energia cinètica turbulenta es dissipa en calor.

Els experiments i les solucions numèriques demostren que la turbulència quàntica és un feltre aparentment aleatori de llínees de vórtice en l'interior d'un decorregut quàntic. L'estudi de la turbulència quàntica pretén explorar dos qüestions principals:

1. ¿Els feltre de vórtices són realment aleatòries o contenen algunes propietats característiques o estructures organisades?

1. ¿En qué es diferencia la turbulència quàntica de la clàssica?

Per a comprendre la turbulència quàntica és útil establir una conexió en la turbulència dels decorreguts clàssics. La turbulència dels decorreguts clàssics és un fenomen quotidià, que pot observar-se fàcilment en el fluix d'una riera o un riu, com va fer per primera volta Leonardo dona Vinci en els seus famosos esbossos. En obrir una aixeta d'aigua, s'observa que al principi l'aigua ix de forma regular (lo que es denomina fluix laminar), pero si l'aixeta s'obri a cabals més alts, el fluix s'adorna en protuberàncies irregulars, dividint-se imprevisiblemente en múltiples bri mentres es derrama en un torrent sempre canviant, lo que es coneix com a fluix turbulento. Leonardo dona Vinci va observar per primera volta i va anotar en els seus quaderns privats que els fluix turbulentos dels decorreguts clàssics inclouen zones de decorregut circulant denominades vórtices (o moles).

El cas més senzill de turbulència clàssica és el de la turbulència isótropo homogénea (HIT, per les seues sigles en anglés) mantinguda en un estat estacionario estadístic. Este tipo de turbulència pot crear-se en l'interior d'un túnel de vent, per eixemple un canal en fluix d'aire impulsat per un ventilador d'un costat a un atre. A sovint està equipat en una malla per a crear un fluix turbulento d'aire. Un estat estacionario estadístic garantisa que les principals propietats del fluix s'estabilisen encara que fluctuen localment. Per la presència de viscosidad, sense el suministrament continu d'energia la turbulència del fluix decaurà a causa de les forces de fricció. En el túnel aerodinàmic, l'energia és suministrada constantment pel ventilador. És útil introduir el concepte de distribució d'energia sobre les escales de llongitut, el vector d'ona $𝐤=(k_x,k_y,k_z)$ i l'número $k=|𝐤|$. En una dimensió, l'número pot relacionar-se en la llongitut d'ona simplement utilisant $k=2\pi /\lambda$. L'energia total $E_{tot}$ per unitat de massa ve donada per

$E_{tot}=\frac{1}{𝒱}\underset{𝒱}{\int }\frac{{𝐯}^2}{2}{\mathrm{d}}^3𝐫=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}E(k)\mathrm{d}k$

a on $E(k)$ és l'espectre d'energia, que representa essencialment la distribució de l'energia cinètica turbulenta sobre els número. La noció d'una cascada d'energia, en la que es produïx una transferència d'energia de vórtices de gran escala a vórtices de menor escala, que finalment conduïxen al malbarat viscós, va ser memorablemente senyalada per Lewis Fry Richardson. El malbarat es produïx en les escales de llongitut de malbarat $\eta$ (denominada escala de llongitut de Kolmogorov), a on $\eta =({\nu }^3/\epsilon {)}^{1/4}$ a on $\nu$ és la viscosidad cinemàtica. Gràcies al treball pioner d'Andrey Kolmogorov, es va descobrir que l'espectre d'energia adoptava la forma

$E(k)=C{\epsilon }^{\frac{2}{3}}{k}^{-\frac{5}{3}}$

a on $\epsilon$ és la taxa de malbarat d'energia per unitat de volum $-\mathrm{d}E/\mathrm{d}t$. La constant $C$ és una constant adimensional, que pren el valor $C\approx 1.5$. En l'espai $k$ el valor associat a l'escala de llongitut de Kolmogorov és l'número de Kolmogorov $k_{\eta }$, a on es produïx el malbarat viscós.

Cascada de Kolmogorov en decorreguts quàntics

Archiu:Vortex-tangle.png

Fig 9. Feltre de vórtices simulada numèricament que representa la turbulència quàntica de Kolmogorov. Les llínees fines representen llínees de vórtice dins d'un contenidor cúbic. La barra de color representa la cantitat d'interacció no local, és dir, la cantitat en que una secció de la llínea de vórtice es veu afectada per les demés llínees de vórtice que la rodegen. (Crèdit AW Baggaley)

Archiu:Kolmogorov-in-qf.png

Fig 10. Diagrama esquemàtic de l'espectre d'energia per a la turbulència de Kolmogorov a temperatures molt menudes. La direcció $k^{-5/3}$ cascada d'energia està present per a grans escales de llongitut, i pot observar-se una cascada d'ones Kelvin per a escales de llongitut molt chicotetes que sofrix emissió sonora. Al voltant de l'escala de llongitut quàntica es produïx un amontonamiento de colls de botella $\ell$.

Per a temperatures lo suficientment baixes com per a que els efectes de la mecànica quàntica governen el decorregut, la turbulència quàntica és un feltre aparentment caòtic de llínees de vórtices en una topología molt nugada, que es mouen entre sí i es tornen a conectar quan choquen. En un superfluit pur, no hi ha component normal que transporte la entropía del sistema i, per tant, el decorregut fluïx sense viscosidad, lo que provoca l'absència d'una escala de malbarat $\eta$. De forma anàloga als decorreguts clàssics, una escala de llongitut quàntica $\ell$ (i el valor corresponent en l'espai-k, $k_{\ell }$) pot introduir-se substituint la viscosidad cinemàtica en l'escala de llongitut de Kolmogorov pel quant de circulació $\kappa$. Per a escales majors que $\ell$, una menuda polarisació de les llínees de vórtice permet el estiramiento necessari per a sostindre una cascada d'energia de Kolmogorov.

S'han realisat experiments en Heli II superfluit per a crear turbulències que es comporten segons la cascada de Kolmogorov. Un eixemple d'això és el cas de dos hèlices contrarrotantes, en les que tant per damunt com per baix de la temperatura crítica $T_c$ es va observar un espectre d'energia de Kolmogorov indistinguible dels observats en la turbulència dels decorreguts clàssics. Per a temperatures més elevades, l'existència de la component normal del decorregut conduïx a la presència de forces viscoses i a un eventual malbarat de calor que calfa el sistema. Com a conseqüència d'esta fricció, els vórtices se suavisen i les ones Kelvin que sorgixen per les reconexiones dels vórtices són més suaus que en la turbulència quàntica de baixa temperatura. La turbulència de Kolmogorov sorgix en els decorreguts quàntics per a l'entrada d'energia a grans escales de llongitut, a on l'espectre d'energia seguix $k^{-5/3}$ en el ranc inercial $k_D<k<k_{\ell }$. Per a escales de llongitut inferiors a $\ell$, en canvi, l'espectre d'energia seguix una $k^{-1}$ règim.

Per a temperatures en el llímit zero, les ones Kelvin no amortiguadas fan que apareguen més torceduras en les formes dels vórtices. Per a grans escales de llongitut, la turbulència quàntica es manifesta com una cascada d'energia de Kolmogorov (les simulacions numèriques que utilisen l'equació de Gross-Pitaevskii i el model de vórtice-filament varen confirmar este efecte ), en l'espectre d'energia següent $k^{-5/3}$. En carir de malbarat tèrmic, és intuïtiu supondre que la turbulència quàntica en el llímit de baixa temperatura no decau com ho faria a temperatures més elevades, no obstant les proves experimentals varen demostrar que no era aixina: la turbulència quàntica decau inclús a temperatures molt baixes. Les ones Kelvin interactuen i creen ones Kelvin més curtes, fins que són lo suficientment curtes com per a que es produïxca l'emissió de sò (fonones), lo que dona lloc a la conversió d'energia cinètica en calor, dissipant-se aixina l'energia. Este procés, que desplaça l'energia a escales de llongitut cada volta més chicotetes en número majors que $k_{\ell }$ es denomina cascada d'ones Kelvin i es produïx en vórtices individuals. Per tant, la turbulència quàntica de baixa temperatura deuria consistir en una doble cascada: un règim de Kolmogorov (una cascada de moles) en el ranc inercial $k_D<k<k_{\ell }$ seguida d'un replanell de coll de botella, seguida de la cascada d'ones Kelvin (una cascada d'ones) que obedix a la mateixa $k^{-5/3}$ pero en un orige físic diferent. Est és el consens actual, pero cal subrallar que es deriva únicament de la teoria i les simulacions numèriques: actualment no existixen proves experimentals directes de la cascada d'ones Kelvin per la dificultat d'observar i medir a escales de llongitut tan menudes.