Teorema de les tres geodèsiques

En geometria diferencial, la teorema de les tres geodèsiques, també conegut com a teorema de Lyusternik-Schnirelmann, establix que tota varietat de Riemann en la topología d'una esfera té a lo manco tres geodèsiques tancades simples (és dir, tres círculs geodèsics incrustats). El resultat també pot estendre's a cuasigeodésicas en un poliedre convexo i a geodèsiques tancades de 2-esferes reversibles de Finsler. La teorema cal: encara que tota 2-esfera riemanniana conté infinites geodèsiques tancades distintes, solament tres d'elles tenen garantisada l'absència de autointersecciones. Per eixemple, segons un resultat de Morse, si les llongituts dels tres eixos principals d'un elipsoide són distintes, pero suficientment propenques entre sí, llavors l'elipsoide té solament tres geodèsiques tancades simples.

Història i demostració

Un elipsoide triaxial i els seus tres geodèsiques

Una llínea geodèsica, en una superfície riemanniana, és una curva localment recta en cada u dels seus punts. En el pla, les geodèsiques són rectas, i en una esfera, les geodèsiques són círculs màxims. El camí més curt en la superfície entre dos punts és sempre una geodèsica, pero també poden existir atres geodèsiques. Es diu que una geodèsica és una geodèsica tancada si retorna al seu punt de partida i direcció inicial. En fer-ho, pot creuar-se a sí mateixa vàries voltes. La teorema de les tres geodèsiques establix que per a superfícies homeomorfas en l'esfera, existixen a lo manco tres geodèsiques tancades que no es creuen a sí mateixes. Açò implica que pot haver més de tres, com en el cas d'una esfera, que té infinites.

Este resultat prové de les matemàtiques de la navegació oceànica, a on la superfície terrestre pot modelar-se en precisió per mig d'un elipsoide, i de l'estudi de les geodèsiques sobre un elipsoide, obtindre les rutes més curtes per a que els barcos viagen. En particular, un elipsoide triaxial casi esfèric té solament tres geodèsiques tancades simples: els seus equador. En 1905, Henri Poincaré conjeturó que tota superfície plana topológicamente equivalent a una esfera conté igualment a lo manco tres geodèsiques tancades simples, i en 1929 Lazar Lyusternik i Lev Schnirelmann varen publicar una demostració de la conjectura. Encara que l'argument topològic general de la demostració era correcte, amprava un resultat de deformació que posteriorment es va demostrar que era erròneu. Varis autors varen propondre solucions insatisfactòries per a solucionar este resultat incomplet. Una solució universalment acceptada va ser proporcionada en la década de 1980 per Grayson, seguint una sugerència de Karen Uhlenbeck, per mig del fluix d'acurtada d'una curva.

Generalisacions

Una versió reforçada de la teorema establix que, en qualsevol superfície riemanniana topológicamente equivalent a una esfera, existixen necessàriament tres geodèsiques tancades simples la llongitut de les quals és, com a màxim, proporcional al diàmetro de la superfície.

El número de geodèsiques tancades de llongitut com a màxim L en una esfera topològica plana creix proporcionalment a (L/log L), pero no es pot garantisar que totes estes geodèsiques siguen simples.

En els sistemes compactes de superfícies de Riemann hiperbòliques, existixen infinites geodèsiques tancades simples, pero solament un número finito de geodèsiques en una llongitut llímit donada. Estes es codifiquen analíticamente per mig de la funció zeta de Selberg. La taxa de creiximent del número de geodèsiques tancades simples, en funció de la seua llongitut, va ser investigada per Maryam Mirzajani.

L'existència de tres geodèsiques tancades simples també es complix per a qualsevol mètrica de Finsler reversible en la 2-esfera.