Geodèsiques sobre un elipsoide

Archiu:Long geodesic on an oblate ellipsoid.svg

Una geodèsica sobre un elipsoide achatado.

L'estudi de les geodèsiques sobre un elipsoide es va desenrollar en l'àmbit de la geodèsia, particularment en la resolució de rets de triangulació. Tenint en conte que la forma de la terra s'assembla a una esfera achatada, és dir, a una esfera llaugerament comprimida en els pols, una geodèsica representa el trayecte més curt entre dos punts sobre tal superfície curva. El càlcul de geodèsiques implica un conjunt de càlculs dins de la trigonometria esfèrica, un enfocament matemàtic que va ser explorat per Euler en 1755.

Si la forma de la terra anara una esfera, les geodèsiques serien círculs màxims (tots tancats) i els problemes es resoldrien en trigonometria esfèrica . No obstant, Isaac Newton (1687) va demostrar que l'efecte de la rotació de la Terra fa que esta no siga esfèrica sino que se semble a un elipsoide llaugerament achatado. En este cas, l'equador i els meridianos són les úniques geodèsiques tancades simples. Finalment, si l'elipsoide es pertorba encara més per a convertir-se en un elipsoide triaxial (en tres semieixos distints), només es tindrien tres geodèsiques tancades.

Geodèsiques sobre un elipsoide de revolució.

Les geodèsiques es definixen de vàries maneres (Hilbert y Cohn-Vossen, 1952, pp. 220–221). La definició simple és que són el camí més curt entre dos punts d'una superfície curva. No obstant, és més útil definir-les com a camins en curvatura geodèsica zero, és dir, en cada punt a lo llarc de la curva, la direcció de la curvatura està completament en el pla tangente de la superfície en eixe punt; açò significa que la curva es comporta localment com una llínea recta en la superfície. És dir, la curva no es desvia cap a dalt ni cap a avall de la superfície. Esta definició comprén geodèsiques que viagen tan llunt a través de la superfície de l'elipsoide que comencen a retornar cap al punt de partida, de modo que atres rutes són més directes, i inclou camins que es creuen o tornen a traçar-se. Els segments suficientment curts d'una geodèsica seguixen sent la ruta més curta entre els seus punts finals, pero les geodèsiques no són necessàriament globalment mínimes (és dir, la més curta entre totes les rutes possibles). Tot camí globalment més curt és una geodèsica, pero no al revés.

Fins a finals de el XVIII, s'acceptava que la forma de la Terra s'aproximava a un elipsoide de revolució, també conegut com esferoide. Per lo tant, el procés d'ajustar rets de triangulació consistia en referenciar totes les medicions a un elipsoide de referència i abordar el problema resultant en dos dimensions com un eixercici tradicional de trigonometria esfèrica. (Bomford, 1952, Chap. 3) (Leick et al., 2015, §4.5).

Figura 1. Un AB geodèsic sobre un elipsoide de revolució. N és el pol nort i EFH es troba en l'equador.

En el càlcul de geodèsiques és possible categorizar dos tipos de problemes. Considere que té dos punts:

• A en latitut φ₁ i llongitut λ₁
• B en latitut φ₂ i llongitut λ₂ (vore Figura. 1).

La geodèsica de conexió (de A a B ) és AB, de llongitut s₁₂, que té acimutes α₁ i α₂ en els dos punts extrems. En este context, els dos problemes geodèsics considerats són:

1. El problema geodèsic directe o primer problema geodèsic: daus A, α₁ i s₁₂, determine B i α₂ ;

1. El problema geodèsic invers o segon problema geodèsic, daus A i B, determina s₁₂, α₁ i α₂ .

Com es veu en la Fig. 1, açò implica resoldre el triàngul NAB dau un àngul, α₁ per al problema directe i λ₁₂ = λ₂ − λ₁ per al problema invers, i els seus dos costats adjacents. Per a una esfera les solucions a estos problemes són eixercicis simples de trigonometria esfèrica, la solució de la qual ve donada per fòrmules per a resoldre un triàngul esfèric.

Clairaut, en 1735, va identificar la constant característica que definix les geodèsiques en un elipsoide de revolució. Posteriorment, Legendre i Oriani en 1806, seguits per treballs adicionals en 1808 i 1810, varen desenrollar una metodologia sistemàtica per a determinar les trayectòries de les geodèsiques. Bessel, en 1825, va oferir una solució exhaustiva al problema directe, incloent taules computacionals i un cas pràctic resolt.

Durant el XVIII, les geodèsiques eren cridades "llínees més curtes". El terme "llínea geodèsica" va ser falcat per Laplace (1799b) :

Nous désignerons cette ligne sous li nom de ligne géodésique [Cridarem a esta llínea llínea geodèsica ].

En atres camps es va preferir llínea geodèsica, abreviada com a geodèsica .