Problema invers

Eixemple de problema invers, trobar una llista de números tal que sumixen 27.

Un problema invers és aquell en a on els valors d'alguns paràmetros del model deuen ser obtinguts de les senyes observades. El problema invers apareix en moltes branques de la ciència i de les matemàtiques.

El problema invers pot ser formulat com seguix:

Senyes → Paràmetros del model

La transformació de les senyes en els paràmetros del model és el resultat de l'interacció d'un sistema físic, i.g. la Terra, l'atmòsfera, la gravetat, etc. Els problemes inversos sorgixen en disciplines tals com geofísica, image mèdica (com per eixemple en la tomografía axial computarizada), sensors remots, tomografía acústica oceànica, test no destructius, astronomia.

Els problemes inversos normalment són problemes mal plantejats, en contraposició en els problemes ben plantejats, més usuals quan es modelen circumstàncies físiques a on els paràmetros del model –o be les seues propietats materials– són coneguts. De les tres condicions d'un problema ben plantejat, sugerides per Jacques Hadamard (existència, unicitat, estabilitat de la solució o solucions) la condició d'estabilitat és la que més a sovint es quebranta.

En l'àrea d'anàlisis funcional, el problema invers és representat com una correspondència entre espais mètrics. Normalment, els problemes inversos són formulats en espais de dimensió infinita, pero poden ser reconvertits a forma discreta degut a que es dispon d'un número finito de mides, i a que en la pràctica s'intenta recuperar un número finito de paràmetros. En este cas el problema invers estarà normalment mal condicionat.

Definició més senzilla (presa de la versió en anglés):

En ciència, un problema invers és aquell que partix dels efectes i després calcula les causes.  Un problema directe escomença en les causes i després calcula els efectes.

Eixemple de problema invers: Averiguar qué lleis rigen el moviment dels cossos celests. Resultat: Newton, Kepler, etc.

Eixemple de problema directe: Coneixent dites lleis, aplicar-les per a determinar la trayectòria d'una sonda espacial.

Problemes inversos llineals

Un problema invers llineal pot ser descrit per:

$d=G(m)$

a on $G$ és un operador llineal que descriu la relació explícita entre les senyes, $d$, i els paràmetros del model, $m$, i és una representació del sistema físic. En el cas d'un problema invers llineal discret que descriga a un sistema llineal, $d$ and $m$ són vectores, i el problema pot ser escrit com:

$d=Gm$

a on $G$ és una matriu.

Un eixemple central de problema invers llineal és proporcionat per una equació integral de primera classe de Fredholm.

$d(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x,y)m(y)dy$

Per a una $g$ suficientment suau, l'operador definit anteriorment és compacte en un espai de Banach raonable, tals com un espai L^p. Inclús si la correspondència és biyectiva la seua inversa no serà contínua. Aixina menuts errors en les senyes $d$ són amplificats en la solució $m$. En este sentit el problema invers de inferir $m$ de la mida $d$ està mal plantejat. Per a conseguir una solució numèrica, l'integral deu ser aproximada utilisant quadratura i les senyes muestreados en punts discrets. El sistema resultant de les equacions llineals estarà mal condicionat.

Un atre eixemple és l'inversió de la transformada de Radon. Ací una funció (per eixemple de dos variables) és deduïda a partir de les seues integrals a lo llarc de totes les llínees possibles. Precisament est és el problema solucionat en la reconstrucció d'imàgens en les tomografía computarizadas de rajos X. Encara que des d'un punt de vista teòric molts problemes inversos llineals es comprenen be, aquells relacionats en la transformada Radon i les seues generalisacions presenten molts reptes teòrics en qüestions tals com la cantitat suficient de senyes, encara sense resoldre. Entre atres problemes, estan aquells que tenen senyes incompletes per a la transformada en rajos X en tres dimensions i els problemes relacionats en la generalisació de la transformada en rajos en para camps de tensors.

Problemes inversos no llineals

Una família de problemes inversos inherentemente més difícils són els referits conjuntament com a problemes inversos no llineals.

Els problemes inversos no llineals tenen una relació més complexa entre les senyes i el model, representats per l'equació:

$d=G(m)$

Ací $G$ és un operador no llineal i no pot ser separat per a representar una correspondència llineal dels paràmetros del model que formen $m$ en les senyes. En este tipo de problemes, lo primer que es deu fer és comprendre l'estructura del problema i donar una resposta teòrica a les qüestions de Hadamard (de tal manera que el problema està «solucionat des del punt de vista teòric»). Una volta fet açò se seguix en l'estudi de la regularisació i de les interpretacions de l'evolució de les solucions en noves mides (provabilístiques o d'un atre tipo). D'ahí que les seccions següents corresponents realment no es referixen a estos problemes.

Mentres que els problemes inversos llineals estaven completament resolts des del punt de vista teòric a finals de el XIX, solament una classe de problemes no llineals lo estava abans de 1970: el problema espectral invers i el de la dispersió inversa (en un espai d'una dimensió), despuix del treball fonamental de l'escola matemàtica russa (Krein, Gelfand, Levitan, Marchenko). Chadan i Sabatier donen un ampli estudi dels resultats en el seu llibre «Inverse Problems of Quàntum Scattering Theory» (en dos edicions en anglés i una en rus). En esta classe de problemes, les senyes són propietats del espectre d'un operador llineal que descriu la dispersió. L'espectre està format per autovalorés i autofunciones, formant el «espectre discret», (.....) l'espectre continu. El (....) és que els experiments sobre la dispersió proporcionen informació només de l'espectre continu, i el coneiximent del seu espectre complet és necessari (i suficient) per a recuperar l'operador de dispersió. Per lo tant, tenim paràmetros invisibles, ¡molt més interessant que l'espai nul que té una propietat similar en els problemes llineals inversos! Ademés, existixen moviments físics a on l'espectre de tal operador és conservat en el moviment. Estos moviments són regits per equacions diferencials parcials especials, per eixemple la «Korteveg -de Vries». Si l'espectre d'un operador és reduït a un únic autovalor, el moviment corresponent és el d'un únic colp que es propaga en velocitat constant sense deformació, una ona solitària cridada «soliton». Està clar que semblant senyal perfecta i les seues generalisacions per a l'equació de Korteweg–de Vries, o atres equacions diferencials parcials no llineals integrables, són de gran interés, en moltes possibilitats d'aplicació, i són actualment estudiades com una branca de la física matemàtica des de 1970.

Els problemes inversos no llineals s'estudien també en molts camps de les ciències aplicades (acústica, mecànica, mecànica quàntica, dispersió electromagnètica, en ones radar, sísmiques, en tota classe de processat d'imàgens, etc).