Geodèsica tancada

Llínea geodèsica tancada (p1-p2-p3-p4-p5) sobre un tetraedre regular, que coincidix en una llínea recta sobre el desenroll en el pla del poliedre

En geometria diferencial i en sistemes dinàmics, una geodèsica tancada sobre una varietat de Riemann és aquella llínea geodèsica que retorna al seu punt de partida en la mateixa direcció tangente. Pot formalisar-se com la proyecció d'una òrbita tancada d'un fluix geodèsic sobre l'espai tangente de la varietat.

Definició

En una varietat de Riemann (M,g), una geodèsica tancada és una curva $\gamma :ℝ\to M$ que és una llínea geodèsica per a la mètrica g i és periòdica.

Les geodèsiques tancades poden caracterisar-se per mig d'un principi variacional. Denotant per $\Lambda M$ l'espai de curves suaus 1-periòdiques sobre M, les geodèsiques tancades de periodo 1 són precisament els punts crítics de la funció d'energia $E:\Lambda M\to ℝ$, definida per:

$E(\gamma )=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{g}_{\gamma (t)}(\dot{\gamma }(t),\dot{\gamma }(t))\mathrm{d}t.$

Si $\gamma$ és una geodèsica tancada de periodo p, la curva reparametrizada $t\mapsto \gamma (pt)$ és una geodèsica tancada de periodo 1 i, per lo tant, és un punt crític de I. Si $\gamma$ és un punt crític de I, també ho són les curves reparametrizadas ${\gamma }^m$, per a cada $m\in \mathbb{N}$, definides per ${\gamma }^m(t):=\gamma (mt)$. Aixina, tota geodèsica tancada en M dona lloc a una seqüència infinita de punts crítics de l'energia I.

Eixemples

Vore també: Teorema de les tres geodèsiques

En la 1-esfera Plantilla:Tmath-dimensional en la mètrica estàndar, tota geodèsica —un gran círcul— és tancada. En una superfície plana topológicamente equivalent a l'esfera, açò pugues no ser cert, pero sempre hi ha a lo manco tres geodèsiques tancades simples. Esta afirmació es formalisa en el teorema de les tres geodèsiques. Les varietats que les seues geodèsiques són totes tancades han segut estudiades exhaustivament en la lliteratura matemàtica. En una superfície hiperbòlica compacta, el grup fonamental de la qual no té torsió, les geodèsiques tancades estan en correspondència biunívoca en classes de conjugació no trivials d'elements en el grup fuchsiano de la superfície.

També és possible definir geodèsiques en algunes superfícies que no són completament planes, com poliedres convexos. La superfície d'un poliedre convexo té una mètrica localment euclidiana, llevat en els seus vèrtiços. Una curva que evita els vèrtiços és una geodèsica si seguix segments de llínea recta dins de cada cara del poliedre i es manté recta en creuar cada aresta. Encara que alguns poliedres tenen geodèsiques tancades simples (per eixemple, el tetraedre regular i els disfenoides tenen infinites geodèsiques tancades, totes simples), uns atres no.

Vore també

• Teorema de Lyusternik-Fet
• Teorema de les tres geodèsiques
• Fluix d'acurtada d'una curva
• Fòrmula de traça de Selberg
• Funció zeta de Selberg
• Superfície de Zoll

Bibliografia

• Besse, A.: "Manifolds all of whose geodesics llaure closed" (Varietats que les seues geodèsiques són totes tancades), «Ergebisse Grenzgeb. Math.», n.º 93, Springer, Berlín, 1978.