Ortoesquema de Schläfli

En geometria, un ortoesquema de Schläfli és un tipo de símplex. És la generalisació del triàngul rectàngul per a les figures simples a qualsevol número de dimensions. Els ortoesquemas es definixen per una seqüència d'arestes $(v_{0} v_{1}), (v_{1} v_{2}), \dots, (v_{d - 1} v_{d})$ que són mútuament ortogonals. Varen ser introduïts per Ludwig Schläfli, qui els va cridar orthoschemes i va estudiar el seu volum en les geometria euclídea, hiperbòlica i esfèrica. Posteriorment, Coxeter els va denominar fent referència a Schläfli. Aixina com els triànguls rectànguls proporcionen la base de la trigonometria, els ortoesquemas formen la base d'una trigonometria de n dimensions, desenrollada per Schoute, qui la va cridar poligonometría.^[1]^{: Plantilla:R/where} J.-P. Sydler i Børge Jessen varen estudiar extensament els ortoesquemas en relació en el tercer problema de Hilbert.

Els ortoesquemas, també cridats path-simplices (símplices-camí) en la lliteratura de matemàtica aplicada, són un cas especial d'una classe més general de símplices estudiats per Fiedler,^[2]^{: Plantilla:R/where} i posteriorment redescubiertos per Harold Scott MacDonald Coxeter.^[3]^{: Plantilla:R/where} Estos símplices són les envolventes convexas de arbres en els que totes les arestes són mútuament perpendiculars. En un ortosquema, l'arbre subjacent és un camí.

En tres dimensions, un ortosquema també es diu tetraedre birrectangular (perque la seua trayectòria forma dos ànguls rectes en els vèrtiços, cada u dels quals té dos ànguls rectes) o tetraedre cuadrirrectangular (perque conté quatre ànguls rectes).^[4]^{: Plantilla:R/where}

Propietats

Totes les seues 2-facetes són triànguls rectànguls.
Totes les facetes d'un ortoesquema són (d-1)-dimensional ortoesquemas.
Els $d$ ànguls diedros que estan separats de les vores del camí són ànguls aguts; els ànguls diédricos $(\binom{d}{2})$ restants són tots ànguls rectes.^[3]^{: Plantilla:R/where}
El punt mig de l'aresta més llarga és el centre de l'esfera circumscrita.
El cas en el que $| v_{0} v_{1} | = | v_{1} v_{2} | = \dots = | v_{d - 1} v_{d} |$ és un tetraedre d'Hill generalisat.
Cada hipercubo en un espai de dimensió d es pot disseccionar en d! ortoesquemas congruents. Una dissecció similar en el mateix número de ortoesquemas s'aplica de manera més general a cada hiperrectángulo, pero en este cas els ortoesquemas poden no ser congruents.
Cada politopo regular es pot disseccionar radialmente en g ortoesquemas congruents que es troben en el seu centre, a on g és el orde del grup de simetria del politopo regular.^[5]^{: Plantilla:R/where}
En l'espai euclídeo de 3 i 4 dimensions, cada politopo convexo és congruent tallant respecte a un ortosquema.
Cada ortoesquema es pot trisecar en tres ortoesquemas més menuts.^[1]^{: Plantilla:R/where}
En espais hiperbòlics i esfèrics tridimensionals, el volum dels ortoesquemas es pot expressar en térmens de la funció de Clausen o en térmens de la funció de Spence.^[6]^{: Plantilla:R/where}

Dissecció en ortoesquemas

Artícul principal → Dissecció en ortoesquemas.

Hugo Hadwiger conjeturó en 1956 que cada simplex pot ser disseccionat en un número finito de ortoesquemas.^[7]^{: Plantilla:R/where} La conjectura ha segut provada en espais de cinc dimensions o menys,^[8]^{: Plantilla:R/where} pero seguix sense resoldre's en dimensions superiors.^[9]^{: Plantilla:R/where}

La conjectura de Hadwiger implica que tot politopo convexo pot disseccionar-se en ortosquemas.

Vore també

3-ortoesquema (tetraedre en cares triànguls rectànguls)
5-ortoesquema (pentácoron en cares triànguls rectànguls)
Tetraedre de Goursat
Orde d'un politopo

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Ortoesquema de Schläfli» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

↑ ^1,0 ^1,1 Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada cox89
↑ Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada fiedler
↑ ^3,0 ^3,1 Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada cox91
↑ Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada cox73.4.7
↑ Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada cox73.7.6
↑ Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada vinberg
↑ Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada hadwiger
↑ Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada tschirpke
↑ Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada bkks

[cox89-1] 1,0 ^1,1 Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada cox89

[fiedler-2] Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada fiedler

[cox91-3] 3,0 ^3,1 Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada cox91

[cox73.4.7-4] Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada cox73.4.7

[cox73.7.6-5] Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada cox73.7.6

[vinberg-6] Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada vinberg

[hadwiger-7] Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada hadwiger

[tschirpke-8] Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada tschirpke

[bkks-9] Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada bkks

[1]

Plantilla:R/where

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]