Dissecció en ortoesquemas

En geometria, la conjectura d'Hugo Hadwiger postula que tot símplex pot ser disseccionat en ortoesquemas utilisant un número llimitat d'estes figures, en funció de la dimensió del simplex.^[1]^{: Plantilla:R/where} Si açò és cert, llavors, de forma més general, tot politopo convexo podria disseccionar-se en ortoesquemas. El problema de la dissecció en ortoesquemas d'un simplex genèric de dimensió n seguia sense resoldre's en 2026.

Definicions i enunciat

Plantilla:No resolt

En este context, un símplex en l'espai euclídeo $d$ -dimensional és l'envolvente convexa d'un conjunt de $d + 1$ punts que no es troben tots en un hiperplano comú. Per eixemple, un símplex bidimensional és simplement un triàngul (la envolvente convexa de tres punts en el pla) i un símplex tridimensional és un tetraedre (la envolvente convexa de quatre punts en l'espai tridimensional). Els punts que formen el símplex d'esta manera es denominen les seues vèrtiços.

Un ortoesquema, també cridat símplex de camí, és un tipo especial de símplex. En este cas, els vèrtiços es poden conectar per mig d'un camí, de modo que cada dos arestes del camí formen un àngul recte entre sí. Un ortoesquema bidimensional és un triàngul rectàngul. Un ortoesquema tridimensional es pot construir a partir d'un gaveta, trobant un camí de tres arestes de la gaveta que no es troben totes sobre la mateixa cara quadrada, i formant la envolvente convexa dels quatre vèrtiços d'este camí.

Una dissecció d'una figura $S$ (que pot ser qualsevol conjunt tancat en l'espai euclídeo) és una representació de $S$ com l'unió d'atres figures que els seus interiors són disjuntos entre sí. És dir, intuitivamente, les figures en l'unió no se superponen, encara que poden compartir punts en els seus llímits. Per eixemple, un gaveta es pot disseccionar en sis ortoesquemas tridimensionals. Un resultat similar s'aplica de forma més general: tot hipercubo o hiperrectángulo en $d$ dimensions es pot disseccionar en $d!$ ortoesquemas.

La conjectura de Hadwiger postula que existix una funció $f$ tal que tot símplex de dimensió $d$ pot descompondre's en com a molt $f (d)$ ortoesquemas. Hadwiger va plantejar este problema en 1956;^[2]^{: Plantilla:R/where} i permaneix sense resoldre en general, encara que es coneixen casos especials per a valors menuts de $d$ .^[1]^{: Plantilla:R/where}

En dimensions chicotetes

L'altura medida des d'un àngul agut pugues no ser suficient per a dividir un triàngul, pero l'altura traçada des del seu àngul més ampli sempre ho dividix en dos triànguls rectànguls

En dos dimensions, tot triàngul pot descompondre's en com a molt dos triànguls rectànguls, traçant una altura des del seu àngul més ampli fins a la seua aresta més llarga.^[2]^{: Plantilla:R/where}

En tres dimensions, alguns tetraedres poden descompondre's de forma similar, traçant una altura perpendicular des d'un vèrtiç $v$ fins a un punt $p$ en una cara oposta, conectant $p$ perpendicularmente als costats de la cara i utilisant els camins perpendiculars de tres arestes que passen per $v$ i $p$ fins a una aresta i després fins a un vèrtiç de la cara.^[2]^{: Plantilla:R/where} No obstant, açò no sempre funciona. En particular, existixen tetraedres els vèrtiços dels quals no tenen altures en un peu dins de la cara oposta.

Per mig d'una construcció més complexa,Lenhard (1960) va demostrar que tot tetraedre pot dividir-se en un màxim de 12 ortoesquemas.^[3]^{: Plantilla:R/where} Böhm (1980) va demostrar que este valor és òptim: existixen tetraedres que no poden dividir-se en menys de 12 ortoesquemas.^[4]^{: Plantilla:R/where} En el mateix artícul, Böhm també va generalisar el resultat de Lenhard a la geometria esfèrica i a la geometria hiperbòlica tridimensionals.

En quatre dimensions, es necessiten com a màxim 500 ortoesquemas.^[5]^{: Plantilla:R/where} En cinc dimensions, es necessita novament un número finito de ortoesquemas, aproximadament acotat a un màxim de 12,5 millons. Açò s'aplica tant a la geometria esfèrica i hiperbòlica com a la euclídea.^[6]^{: Plantilla:R/where}

La conjectura de Hadwiger permaneix sense demostrar per a totes les dimensions majors que cinc.^[1]^{: Plantilla:R/where}

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 . See in particular Conjecture 23, p. 327.
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada hh
↑ Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada len
↑ Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada bohm
↑ Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada tschirpke93
↑ Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada tschirpke94

Este artícul conté una traducció derivada de «Disección en ortoesquemas» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[bkks-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 . See in particular Conjecture 23, p. 327.

[hh-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada hh

[len-3] Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada len

[bohm-4] Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada bohm

[tschirpke93-5] Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada tschirpke93

[tschirpke94-6] Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada tschirpke94

[1]

Plantilla:R/where

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]