Gravetat quàntica canònica

En física, la gravetat canònica o gravetat quàntica canònica és un intent de cuantizar la formulació canònica de la relativitat general. És una formulació hamiltoniana de la Teoria General de la Relativitat d'Einstein.

Introducció

La teoria bàsica va ser descrita per Bryce DeWitt en un artícul formal en 1967, basant-se en un treball previ de Peter G. Bergmann, usant les cridades tècniques de cuantización canònica per a sistemes hamiltonianos llimitats inventades per P. A. M. Dirac. L'enfocament de Dirac permet la cuantización de sistemes que inclouen simetria de norma usant tècniques hamiltonianas en una elecció de norma fixa. Nous enfocaments, basats en part en el treball de DeWitt i Dirac, inclouen l'estat de Hartle-Hawking, el càlcul de Regge, l'equació de Wheeler-DeWitt i la gravetat quàntica de llaços.

Desenroll matemàtic

La cuantización es basa en la descomposició del tensor mètric tal i com seguix,

a on la suma dels índexs repetits és implícita, l'índex 0 indica temps $\tau =x^0$, els índexs grecs prenen tots els valors 0,...,3 i els índexs llatins prenen els valors especials 1,...3. La funció $N$ es diu la funció lapsus i les funcions ${\beta }_k$ es diuen funcions shift. Els índexs espacials s'incrementen i decrementan usant la mètrica espacial ${\gamma }_{ij}$ i la seua inversa ${\gamma }^{ij}$: ${\gamma }_{ij}{\gamma }^{jk}={\delta }_i{}^k$, ${\beta }^i={\gamma }^{ij}{\beta }_j$, $\gamma =\det {\gamma }_{ij}$, a on $\delta$ és la delta de Kronecker. En esta descomposició, la lagrangiana d'Einstein-Hilbert es convertix en, fins a derivades totals,

A on:

${}^{(3)}R$ és la curvatura escalar espacial calculada sobre la mètrica de Riemann ${\gamma }_{ij}$

$K_{ij}=\frac{1}{2}{N}^{-1}({\mathrm{\nabla }}_j{\beta }_i+{\mathrm{\nabla }}_i{\beta }_j-\frac{\partial {\gamma }_{ij}}{\partial \tau }),$ és la curvatura extrínseca, a on a la seua volta:

${\mathrm{\nabla }}_i$ dona una diferenciació covariant sobre la mètrica ${\gamma }_{ij}$.

DeWitt escriu que la lagrangiana «té la forma clàssica de "energia cinètica menys energia potencial", en la curvatura extrínseca jugant el paper de l'energia cinètica i l'opost de la la curvatura intrínseca, el de l'energia potencial.» Encara que esta forma de la lagrangiana és manifestament invariante si es redefinixen la coordenades espacials, fa opaca la covarianza general.

Com les funciones lapsus (delay) i desplaçament (shift) poden ser eliminades per una transformació de gauge, no representen graus físics de llibertat. Açò s'indica movent-nos al formalisme hamiltoniano pel fet dels seus moments conjugats, respectivament, $\pi$ i ${\pi }^i$, desapareixen de forma idèntica (on shell i off shell). Açò és lo que Dirac crida llimitacions primàries. Una elecció popular de gauge cridada gauge síncrono, és $N=1$ i ${\beta }_i=0$, encara que, en principi, pot ser elegida qualsevol funció de les coordenades. En este cas, el hamiltoniano pren la forma:

a on

i:

${\pi }^{ij}$ és el moment conjugat de ${\gamma }_{ij}$.

Les equacions d'Einstein poden ser recuperades prenent corchetes de Poisson en el hamiltoniano. Llimitacions on-shell adicionals, cridades llimitacions secundàries per Dirac, sorgixen de la consistència de l'àlgebra de Poisson. Són $\mathscr{H}=0$ i ${\mathrm{\nabla }}_j{\pi }^{ij}=0$. Esta és la teoria que està sent cuantizada en aproximacions a la gravetat quàntica canònica.

Vore també

• Formalisme ADM
• Gravetat quàntica
• Mecànica quàntica
• Relativitat general
• Física teòrica