Equació d'ona electromagnètica

Els camps electromagnètics es propaguen per l'espai en forma d'ones, que poden viajar a través d'un mig aixina com en el buit. Les equacions d'ones electromagnètiques són necessàries per a descriure la propagació de les ones electromagnètiques, tant en presència de matèria com en el buit. Les equacions de les ones electromagnètiques, per a un espai en fonts, aixina com les seues solucions s'han propost recentment.

Equacions d'ona en el buit

En el buit, en regions a on no hi ha càrregues ni corrents les equacions de Maxwell tenen la forma:

Com es pot apreciar tenim equacions d'ona tant per al camp elèctric $\overrightarrow{E}$ com per al camp magnètic $\overrightarrow{B}$ , que són obtingudes a partir de tenint que:

$\begin{array}{cc}\text{(i)}\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=\frac{\rho }{{ϵ}_0}& \text{(iii)}\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}\\ \text{(ii)}\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0& \text{(iv)}\mathrm{\nabla }\times 𝐁={\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}\end{array}$

Que constituïxen un conjunt d'equacions diferencials en derivades parcials acoplades de primer orde, tant per al camp elèctric $𝐄$ com per al camp magnètic $𝐁$; ${ϵ}_0$ és la permitividad dielèctrica del buit i ${\mu }_0$ la permeabilidad magnètica en el buit.

Per a obtindre les equacions d'ona és necessari aplicar l'operador rotacional a $\text{(iii)}$ i $\text{(iv)}$, tenint en conte la següent propietat:

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)-{\mathrm{\nabla }}^2𝐀$

Equació d'ona per a I

$\underset{[1]}{\underbrace{\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐄)}}=\underset{[2]}{\underbrace{\mathrm{\nabla }\times (-\frac{\partial 𝐁}{\partial t})}}$

$[1]\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐄)=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄)-{\mathrm{\nabla }}^2𝐄\stackrel{\text{(i)}}{=}-{\mathrm{\nabla }}^2𝐄$

$[2]\mathrm{\nabla }\times (-\frac{\partial 𝐁}{\partial t})=-\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{\nabla }\times 𝐁)\stackrel{\text{(iv)}}{=}-{\mu }_0{ϵ}_0\frac{{\partial }^2𝐄}{\partial t^2}$

Igualant $[1]$ a $[2]$ obtenim l'equació d'ona per al camp elèctric $𝐄$ en buit.

${\mathrm{\nabla }}^2𝐄-{\mu }_0{ϵ}_0\frac{{\partial }^2𝐄}{\partial t^2}=0$

Equació d'ona per a B

$\underset{[1]}{\underbrace{\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)}}=\underset{[2]}{\underbrace{\mathrm{\nabla }\times \left({\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}\right)}}$

$[1]\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁)-{\mathrm{\nabla }}^2𝐁\stackrel{\text{(ii)}}{=}-{\mathrm{\nabla }}^2𝐁$

$[2]\mathrm{\nabla }\times \left({\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}\right)={\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{\nabla }\times 𝐄)\stackrel{\text{(iii)}}{=}-{\mu }_0{ϵ}_0\frac{{\partial }^2𝐁}{\partial t^2}$

Igualant $[1]$ a $[2]$ obtenim l'equació d'ona per al camp magnètic $𝐁$ en buit.

${\mathrm{\nabla }}^2𝐁-{\mu }_0{ϵ}_0\frac{{\partial }^2𝐁}{\partial t^2}=0$

Velocitat de la llum en el buit

Comparant les equacions d'ona que hem obtingut per al camp elèctric $𝐄$ i el camp magnètic $𝐁$ en l'equació genèrica d'ones tridimensional:

${\mathrm{\nabla }}^2\psi -\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial t^2}=0$

A on $v$ és la velocitat de propagació de l'ona, és fàcil deduir que la velocitat de propagació de l'ona electromagnètica és

$v=\frac{1}{\sqrt{{ϵ}_0{\mu }_0}}\equiv c\simeq 3\cdot 10^8\text{m/s}$

És dir, en el buit els camps elèctric i magnètic es propaguen a la velocitat de la llum, a partir d'este resultat es va poder deduir que la llum és en realitat una ona electromagnètica, donant inici a la teoria electromagnètica de la llum.

Solució de les equacions d'ones electromagnètiques monocromàtiques

Els camps electromagnètics són reals, pero per comoditat definim uns camps elèctric, $\widetilde{𝐄}$, i magnètic, $\widetilde{𝐁}$, auxiliars complexos de manera que:

$\begin{array}{cc}𝐄=\mathrm{\Re }\{\widetilde{𝐄}\}& 𝐁=\mathrm{\Re }\{\widetilde{𝐁}\}\end{array}$

Les ones planes monocromàtiques són unes de les més simples i fonamentals solucions de l'equació d'ones i l'importància d'estes ones residix que tota ona pot ser expressada com combinació llineal per superposició de Fourier d'estes. Es denominen monocromàtiques ya que són funcions oscilantes d'una sola freqüència angular $e^{-i\omega t}$, i en el ranc de radiació electromagnètica visible, a cada freqüència li correspon un color.

Per a simplificar els càlculs solament mostrarem la resolució per al camp elèctric $\widetilde{𝐄}$, ya que per al camp magnètic $\widetilde{𝐁}$ es realisa d'igual forma.

Com busquem solucions d'ona plana monocromàtiques:

$\widetilde{𝐄}(x,y,z,t)={\widetilde{𝐄}}_{\mathrm{𝟎}}(x,y,z)e^{-i\omega t}\to \left(\begin{array}{c}{\tilde{E}}_x(x,y,z,t)\\ {\tilde{E}}_y(x,y,z,t)\\ {\tilde{E}}_z(x,y,z,t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\tilde{E}}_{0x}(x,y,z)\\ {\tilde{E}}_{0y}(x,y,z)\\ {\tilde{E}}_{0z}(x,y,z)\end{array}\right)e^{-i\omega t}(1)$

Substituint en l'equació d'ones del camp elèctric per a la component $m$ del camp:

${\mathrm{\nabla }}^2{\tilde{E}}_m-{\mu }_0{ϵ}_0\frac{{\partial }^2{\tilde{E}}_m}{\partial t^2}=0\to \frac{{\partial }^2{\tilde{E}}_m}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{\tilde{E}}_m}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{\tilde{E}}_m}{\partial z^2}-{\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial {\tilde{E}}_m}{\partial t^2}=0$

$\frac{{\partial }^2{\tilde{E}}_{0m}}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{\tilde{E}}_{0m}}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{\tilde{E}}_{0m}}{\partial z^2}+{\mu }_0{ϵ}_0{\omega }^2{\tilde{E}}_{0m}=0(2)$

Com ${\tilde{E}}_{0m}={\tilde{E}}_{0m}(x,y,z)$ és funció de les 3 coordenades espacials, tractem de resoldre l'equació diferencial pel método de separació de variables, suponent que ${\tilde{E}}_{0m}(x,y,z)=X(x)\cdot Y(y)\cdot Z(z)$, llavors substituint en l'equació diferencial $(2)$:

$YZ\frac{{\partial }^{2}X}{\partial x^2}+XZ\frac{{\partial }^{2}Y}{\partial y^2}+XY\frac{{\partial }^{2}Z}{\partial z^2}+{\mu }_0{ϵ}_0{\omega }^{2}XYZ=0\to \frac{1}{X}\frac{{\partial }^{2}X}{\partial x^2}+\frac{1}{Y}\frac{{\partial }^{2}Y}{\partial y^2}+\frac{1}{Z}\frac{{\partial }^{2}Z}{\partial z^2}=-{\mu }_0{ϵ}_0{\omega }^2(3)$

I com els térmens de la suma depén de variables distintes i estan igualats a una constant, solament pot ser possible si cada u dels térmens de l'esquerra estan igualats a una constant:

$\frac{1}{X}\frac{{\partial }^{2}X}{\partial x^2}=-k_x^2;\frac{1}{Y}\frac{{\partial }^{2}Y}{\partial y^2}=-k_y^2;\frac{1}{Z}\frac{{\partial }^{2}Z}{\partial z^2}=-k_z^2$

Les solucions Del qual són trivials:

$X(x)=X_0{e}^{i(k_{x}x+{\delta }_x)};Y(y)=Y_0{e}^{i(k_{y}y+{\delta }_y)};Z(z)=Z_0{e}^{i(k_{z}z+{\delta }_z)}(4)$

Aixina substituint estos resultats en $(1)$ i definint el vector d'ona $𝐤=\left(\begin{array}{c}{k}_x\\ k_y\\ k_z\end{array}\right)$, obtenim la relació de dispersió $\omega =\omega (|𝐤|)$:

$-k_x^2-k_y^2-k_z^2=-{\mu }_0{ϵ}_0{\omega }^2\to \omega =\frac{\sqrt{k_x^2+k_y^2+k_z^2}}{\sqrt{{\mu }_0{ϵ}_0}}\to$

$\omega =\frac{|𝐤|}{\sqrt{{\mu }_0{ϵ}_0}}\equiv c|𝐤|(5)$

És interessant nomenar que este vector d'ona marca la direcció en la que es propaga l'ona electromagnètica , $\hat{k}=\frac{𝐤}{|𝐤|}$.

Per a obtindre la solució de ${\tilde{E}}_{0m}={\tilde{E}}_{0m}(x,y,z)$ multipliquem les funcions de $(4)$, a on $𝐫$ és el vector posició:

${\tilde{E}}_{0m}=\underset{={\tilde{A}}_m}{\underbrace{X_0{Y}_0{Z}_0}}{e}^{i(k_{x}x+k_{y}y+k_{z}z)}\underset{=e^{i\delta }}{\underbrace{e^{i({\delta }_x+{\delta }_y+{\delta }_z)}}}\to {\tilde{E}}_{0m}={\tilde{A}}_m{e}^{i(𝐤\cdot 𝐫+\delta )}$

Este resultat correspon a una component arbitrària $m$ del camp elèctric, i veem que solament l'amplitut relativa de la component depén d'esta, aixina que reprenent l'expressió $(1)$:

$\widetilde{𝐄}(x,y,z,t)={\hat{s}}_E\widetilde{E_0}{e}^{i(𝐤\cdot 𝐫-wt+{\delta }_E)}\equiv {\widetilde{𝐄}}_0{e}^{i(𝐤\cdot 𝐫-wt+{\delta }_E)}(6)$

$𝐄=\mathrm{\Re }\{\widetilde{𝐄}\}={𝐄}_0\cos (𝐤\cdot 𝐫-wt+{\tilde{\delta }}_E)$

Análogamente per al camp magnètic:

$\widetilde{𝐁}(x,y,z,t)={\hat{s}}_B\widetilde{B_0}{e}^{i(𝐤\cdot 𝐫-wt+{\delta }_B)}\equiv {\widetilde{𝐁}}_0{e}^{i(𝐤\cdot 𝐫-wt+{\delta }_B)}(7)$

$𝐁=\mathrm{\Re }\{\widetilde{𝐁}\}={𝐁}_0\cos (𝐤\cdot 𝐫-wt+{\tilde{\delta }}_B)$

$(6)$ i $(7)$ es corresponen en les formes generals dels camps complexos, i a on hem fet $\left(\begin{array}{c}{\tilde{A}}_x\\ {\tilde{A}}_y\\ {\tilde{A}}_z\end{array}\right)={\hat{s}}_E{\tilde{E}}_0\equiv {\widetilde{𝐄}}_0$. Sent ${\hat{s}}_E$ i ${\hat{s}}_B$ els vectores de polarisació electromagnètica del camp elèctric i camp magnètic respectivament. D'ara en avant prendrem els desfasaments com a nuls ${\delta }_E={\delta }_B=0$, a no ser que siguen necessaris, i sense perduda de generalitat.

Propietats de les ones electromagnètiques en el buit

Perpendicularidad dels camps a la direcció de propagació

A partir de l'equació de Maxwell $\text{(i)}$, es deduïx que el camp elèctric, $\widetilde{𝐄}$, és perpendicular a la direcció de propagació de l'ona electromagnètica $\hat{k}$.

$\mathrm{\nabla }\cdot \widetilde{𝐄}=0\to {\tilde{E}}_{0x}{e}^{-i\omega t}\frac{\partial }{\partial x}\left(e^{i(k_{x}x+k_{y}y+k_{z}z)}\right)+{\tilde{E}}_{0y}{e}^{-i\omega t}\frac{\partial }{\partial y}\left(e^{i(k_{x}x+k_{y}y+k_{z}z)}\right)+{\tilde{E}}_{0z}{e}^{-i\omega t}\frac{\partial }{\partial z}\left(e^{i(k_{x}x+k_{y}y+k_{z}z)}\right)=0\to$

${\tilde{E}}_{0x}{k}_x+{\tilde{E}}_{0y}{k}_y+{\tilde{E}}_{0y}{k}_y=0\to {\widetilde{𝐄}}_0\cdot 𝐤=0\to {\hat{s}}_E\cdot \hat{k}=0$

Per les propietats del producte escalar i que açò es pot reproduir per al camp magnètic usant $\text{(ii)}$, significa que els camps són perpendiculars a la direcció de propagació.

$\begin{array}{c}{\hat{s}}_E\cdot \hat{k}=0\to {\hat{s}}_E\perp \hat{k}\\ {\hat{s}}_B\cdot \hat{k}=0\to {\hat{s}}_B\perp \hat{k}\end{array}$

Perpendicularidad entre el camp elèctric i el camp magnètic

Desenrollant l'equació de Maxwell $\text{(iii)}$, amprant el conveni de suma d'Einstein per a índexs repetits, les propietats del símbol de Levi-Civita i la delta de Kronecker:

$\mathrm{\nabla }\times \widetilde{𝐄}\equiv {\epsilon }_{ijk}\frac{\partial {\tilde{E}}_k}{\partial x_j}{\hat{e}}_i={\epsilon }_{ijk}\frac{\partial }{\partial x_j}\left[{\tilde{E}}_{k0}{e}^{i(k_l{x}_m{\delta }_{lm}-\omega t)}\right]{\hat{e}}_i={\epsilon }_{ijk}{\tilde{E}}_k{k}_l{\delta }_{lm}{\delta }_{mj}{\hat{e}}_i={\epsilon }_{ijk}{k}_j{\tilde{E}}_k{\hat{e}}_i\equiv 𝐤\times \widetilde{𝐄}=|𝐤|\hat{k}\times \widetilde{𝐄}$

$-\frac{\partial \widetilde{𝐁}}{\partial t}=-{\widetilde{𝐁}}_0\frac{\partial }{\partial t}\left[e^{i(𝐤\cdot 𝐫-\omega t)}\right]=\omega \widetilde{𝐁}$

Igualant les expressions i usant la relació de dispersió $\text{(5)}$:

$\mathrm{\nabla }\times \widetilde{𝐄}=-\frac{\partial \widetilde{𝐁}}{\partial t}\to |𝐤|(\hat{k}\times \widetilde{𝐄})=\omega \widetilde{𝐁}\to \widetilde{𝐁}=\frac{|𝐤|}{\omega }(\hat{k}\times \widetilde{𝐄})$

Obtenim una relació entre la magnitut del camp elèctric i magnètic de l'ona.

$\widetilde{𝐁}=\frac{|𝐤|}{\omega }(\hat{k}\times \widetilde{𝐄})\equiv \frac{1}{c}(\hat{k}\times \widetilde{𝐄})\equiv \sqrt{{\mu }_0{ϵ}_0}(\hat{k}\times \widetilde{𝐄})$

Ademés, degut a que el producte vectorial entre dos vectores resulta en un vector perpendicular a abdós, els camps elèctric i magnètic no solament són perpendiculars a la direcció de propagació, sino que són també perpendiculars entre sí, ${\hat{s}}_E\perp {\hat{s}}_B$.

Bibliografia

• J. Griffiths (2015). «9. Electromagnetic Waves», Introduction to electrodynamics (en anglés), Pearson. ISBN 978-93-325-5044-5.
• Jackson. «7 / Plane electromagnetic waves and wave propagation», Classical Electrodynamics (en anglés), Wiley. ISBN 978-0-471-30932-1.