Curva en l'espai

Archiu:Xyvelocity plot 20200206.png

Eixemple d'una curva en l'espai 3D: una hèliç de pas constant

En matemàtiques, una curva en l'espai, o curva alabeada, és un tipo de curva els punts de la qual no estan tots continguts en el mateix pla. També se li crida curva en tres dimensions o en ${ℝ}^3$.

Les dos maneres més utilisades per a representar una curva espacial són la forma cartesiana i la forma paramètrica.

Representació en forma cartesiana implícita

És possible representar una curva en forma implícita identificant el seu soport en el lloc geomètric dels zeros d'un camp vectorial $\Phi :{ℝ}^3\to {ℝ}^2$, és dir, els punts de coordenades $(x,y,z)$ que verifiquen el sistema:

$C:\{\begin{array}{c}f(x,y,z)=0\\ g(x,y,z)=0\end{array}$

a on $f$ i $g$ són funcions de valor real de classe a lo manco $C^1$. Esta representació d'una curva pot considerar-se com l'intersecció de dos superfícies en forma implícita.

Una condició suficient per a la regularitat local d'una curva aixina representada al voltant d'un dels seus punts $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ és que el seu jacobiano:

$J=\frac{\partial \Phi (x_0,y_0,z_0)}{\partial (x,y,z)}$

tinga ranc màxim, és dir que:

$\det \left(\begin{array}{cc}{f}_y& f_z\\ g_y& g_z\end{array}\right)\ne 0$

Segons el teorema de la funció implícita existixen en els entorns $A$, $B$ i $C$ respectivament de $x_0$, $y_0$ i $z_0$; i existixen funcions $\alpha :A\to B$ i $\beta :A\to C$ de classe a lo manco $C^1$ tals que es complix lo següent:

$\{\begin{array}{c}f(x,\alpha (x),\beta (x))=0\\ g(x,\alpha (x),\beta (x))=0\end{array}$

per a $x\in A$. La funció $P:A\to A\times B\times C\subset {ℝ}^3$ definida per:

$P(t)=(t,\alpha (t),\beta (t))$

és una parametrización local per a la curva $C$. De fet, $\text{Im }P\subseteq C$ i és regular com $P^{\prime }(t)=(1,*,*)\ne (0,0,0)$.

Representació paramètrica

Una curva en forma paramètrica és una funció vectorial d'una sola variable $\alpha (t):I=[a,b]\subseteq ℝ\to {ℝ}^3$ del tipo:

$\alpha (t)=({\alpha }_1(t),{\alpha }_2(t),{\alpha }_3(t))$

També es pot escriure com:

$\alpha (t):\{\begin{array}{c}x={\alpha }_1(t)\\ y={\alpha }_2(t)\\ z={\alpha }_3(t)\end{array}$

La variable $t\in I$ es diu paràmetro. Una curva és una funció de classe $C^1$ en un interval si les funcions ${\alpha }_1(t)$, ${\alpha }_2(t)$ i ${\alpha }_3(t)$ tenen derivades contínues en eixe interval. Es diu que una curva $C^1$ és regular en un punt $t_0$ si:

${\alpha }^{\prime }(t_0)=({\alpha }_1^{\text{'}}(t_0),{\alpha }_2^{\text{'}}(t_0),{\alpha }_3^{\text{'}}(t_0))\ne (0,0,0)$

i regular en $I$ si açò és cert en cada punt de $I$. Un punt en el que ${\alpha }^{\prime }(t_0)=(0,0,0)$ es denomina punt singular de la curva.

Es diu que una curva en l'espai és simple si no es creua en si mateixa, és dir, si per cada $t_1\ne t_2\in I$ hi ha $\alpha (t_1)\ne \alpha (t_2)$. La regularitat de la curva permet definir la recta tangente a la curva, que és la recta paralela al vector:

${\alpha }^{\prime }(t_0)=({\alpha }_{1^{\prime }}(t_0),{\alpha }_2^{\text{'}}(t_0),{\alpha }_3^{\text{'}}(t_0))$

Este vector es denomina vector tangente de llongitut $||{\alpha }^{\prime }(t_0)||$ i també s'indica per mig de $\overrightarrow{T}(t_0)$. El vector unitari tangente és també el vector unitari de llongitut:

$\hat{T}(t_0)=\frac{{\alpha }^{\prime }(t_0)}{||{\alpha }^{\prime }(t_0)||}$

Reparametrización

Donada una curva $\alpha :I⟶{ℝ}^3$ diferenciable i una funció $t=t(s)$ definida en l'interval $S⟶I$ llavors la curva:

$\beta =\alpha \circ t:S⟶{ℝ}^3$

tal que per a cada $s\in S⟶\beta (s)=\alpha (t(s)),$ és una reparametrización de la curva $\alpha$. La reparametrización és regular si: $t(S)=I$ i si $t^{\prime }(s)\ne 0$.

Ademés, si $\beta =\alpha \circ t$ és una reparametrización de $\alpha$ via $t=t(s)$ llavors:

${\beta }^{\prime }(s)=\frac{dt}{ds}{\alpha }^{\prime }(t(s))$

De fet, si:

$\alpha (t)=(\varphi (t),\psi (t),\chi (t))$

Llavors:

$\beta (s)=(\varphi (t(s)),\psi (t(s)),\chi (t(s)))$

i per la regla de derivació de funcions compostes, es té que:

$\frac{d\varphi (t(s))}{ds}=\frac{d\varphi }{dt}\cdot \frac{dt}{ds}$

$\frac{d\psi (t(s))}{ds}=\frac{d\psi }{dt}\cdot \frac{dt}{ds}$

$\frac{d\chi (t(s))}{ds}=\frac{d\chi }{dt}\cdot \frac{dt}{ds}$

i aixina s'obté:

${\beta }^{\prime }(s)=\frac{dt}{ds}(\frac{d\varphi }{dt},\frac{d\psi }{dt},\frac{d\chi }{dt})=\frac{dt}{ds}{\alpha }^{\prime }(t(s))$

Llongitut en forma paramètrica

Siga $\alpha (t)=(\varphi (t),\psi (t),\chi (t))$ diferenciable i $[a,b]\subseteq I$. Llavors, la llongitut de l'arc curve entre $\alpha (a)$ i $\alpha (b)$ és:

$\text{Long}(\alpha )=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\Vert {\alpha }^{\prime }(t)\Vert dt=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{{\varphi }^{\prime }(t{)}^2+{\psi }^{\prime }(t{)}^2+{\chi }^{\prime }(t{)}^2}dt$.

Ademés, si $\beta (s)$ és una reparametrización de la curva, llavors:

$\text{Long}(\alpha )=\text{Long}(\beta )=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\Vert {\alpha }^{\prime }(t)\Vert dt=\underset{t^{-1}(a)}{\overset{t^{-1}(b)}{\int }}\Vert {\beta }^{\prime }(s)\Vert ds$.

Abscissa curvilínea

Generalisant la penúltima fòrmula, es definix, com a funció de $t$, la abscissa curvilínea (o paràmetro de llongitut d'arc) $s$ com

$s(t)=\underset{a}{\overset{t}{\int }}\Vert {\alpha }^{\prime }(u)\Vert du=\underset{a}{\overset{t}{\int }}\sqrt{\varphi {\text{'}}^2+\psi {\text{'}}^2+\chi {\text{'}}^2}du$;

que, sense considerar el seu signe, és la llongitut de l'arc de la curva entre el punt fix $\alpha (a)$ i el punt actual $\alpha (t)$. Per mig de l'abscissa curvilínea $s$ es pot reparametrizar la curva de la següent manera: com $s^{\prime }(t)=\Vert {\alpha }^{\prime }(t)\Vert >0$ es té que $s(t)$ és creixent i per tant invertible, de modo que, cridant a $t(s)$ la seua inversa, s'establix que

$\beta (s)=\alpha (t(s))$,

lo que es coneix com a parametrización natural de la curva.

Curvatura

Donada una parametrización d'abscisses curvilíneas de la curva $\alpha (s)$, es definix el vector curvatura com:

$\overrightarrow{k}(s)={\overrightarrow{T}}^{\prime }(s)$

i la curvatura escalar és el seu mòdul.

Fòrmules de Frenet

Vore també: Geometria diferencial de curves i fòrmules de Frenet-Serret

Una curva suficientment regular en l'espai té en cada punt un sistema de referència cridat triedro de Frenet, donat per una terna de vectores unitaris tangentes, normals i binormales. Deu tindre's en conte que poder definir el triedro de Frenet en cada punt de la curva està subordinat al fet de que la curva té un vector unitari tangente i normal en cada punt de la curva: per esta raó en avant es parla del camp dels vectores unitaris tangentes i del camp dels vectores unitaris normals. Ademés, la curva deu ser dos voltes diferenciable i esta és una condició adicional no prevista en la definició anterior.

Siga $\alpha (s)=(\varphi (s),\psi (s),\chi (s))$ una curva parametrizada segons l'abscissa curvilínea. El camp de vectores unitaris tangentes a la curva ve dau per:

$\overrightarrow{T(s)}=\frac{{\alpha }^{\prime }(s)}{\Vert {\alpha }^{\prime }(s)\Vert }$

El camp unitari normal ve dau per:

$\overrightarrow{N(s)}=\frac{T^{\prime }(s)}{\Vert T^{\prime }(s)\Vert }$

Explotant la definició de curvatura pot donar-se una atra forma al camp de vectores unitaris normals:

$\overrightarrow{N(s)}=\frac{T^{\prime }(s)}{k(s)}$

Ya que $T$ té una norma constant, la cantitat $\Vert T{\Vert }^2$ també serà constant, és dir

$\left({\Vert T\Vert }^2\right)=0$

expressió reescrita com:

$(T\cdot T)=0$

Desenrollant l'equació, s'obté:

$2T\cdot T^{\prime }=0$

És dir, el vector $T^{\prime }$ és ortogonal a $T$ i per tant paralel a $N$.

El camp de vectores unitaris binormales es definix com:

$\overrightarrow{B(s)}=\overrightarrow{T(s)}\times \overrightarrow{N(s)}$

L'importància del triedro de Frenet és que és un sistema de referència ortonormal mòvil, és dir, s'ajusta a mida que es recorren distints punts $P$ de la curva.

Donada la curva $\alpha (s)$, el triedro de Frenet es mou integrámente en $P$ i sempre permaneix com un sistema ortonormal. En atres paraules, el triedro de Frenet és una base ortonormal, d'acort en les fòrmules de Frenet:

$\{\begin{array}{c}\overrightarrow{T^{\prime }(s)}=a_1\cdot \overrightarrow{T(s)}+b_1\cdot \overrightarrow{N(s)}+c_1\cdot \overrightarrow{B(s)}\\ \overrightarrow{N^{\prime }(s)}=a_2\cdot \overrightarrow{T(s)}+b_2\cdot \overrightarrow{N(s)}+c_2\cdot \overrightarrow{B(s)}\\ \overrightarrow{B^{\prime }(s)}=a_3\cdot \overrightarrow{T(s)}+b_3\cdot \overrightarrow{N(s)}+c_3\cdot \overrightarrow{B(s)}\end{array}$

La matriu:

$C=\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}\right]$

es diu matriu de Cartan de la base del triedro. Els seus coeficients són clarament zero en la diagonal principal, ya que la seua producte escalar és zero per la ortonormalidad de la base. Usant la definició de curvatura i introduint la definició de torsió segons la funció següent:

$\tau (s)=-B^{\prime }(s)\cdot \overrightarrow{N(s)}$.

S'obtenen aixina les fòrmules de Frenet per a la parametrización de l'abscissa curvilínea:

$\{\begin{array}{c}\overrightarrow{T^{\prime }}=k(s)\cdot \overrightarrow{N(s)}\\ \overrightarrow{N^{\prime }(s)}=-k(s)\cdot \overrightarrow{T(s)}+\tau (s)\cdot \overrightarrow{B(s)}\\ \overrightarrow{B^{\prime }(s)}=-\tau (s)\cdot \overrightarrow{N(s)}\end{array}$

és dir, la matriu de Cartan és antisimètrica:

$C=\left[\begin{array}{ccc}0& k(s)& 0\\ -k(s)& 0& \tau (s)\\ 0& -\tau (s)& 0\end{array}\right]$

Si existix alguna parametrización de la curva: $\alpha (t)=(\varphi (t),\psi (t),\chi (t))$, formalment el triedro de Frenet és igual i es pot calcular de la següent manera:

$\overrightarrow{T(t)}=\frac{{\alpha }^{\prime }(t)}{\Vert {\alpha }^{\prime }(t)\Vert },$

$\overrightarrow{B(t)}=\frac{{\alpha }^{\prime }(t)\times {\alpha }^{″}(t)}{\Vert {\alpha }^{\prime }(t)\times {\alpha }^{″}(t)\Vert },$

$\overrightarrow{N(t)}=\overrightarrow{B(t)}\times \overrightarrow{T(t)}.$

Ademés, s'obtenen les fòrmules de Frenet:

$\{\begin{array}{c}\overrightarrow{T^{\prime }(t)}=k(t)\cdot \Vert {\alpha }^{\prime }(t)\Vert \cdot \overrightarrow{N(t)}\\ \overrightarrow{N^{\prime }(t)}=-k(t)\cdot \Vert {\alpha }^{\prime }(t)\Vert \cdot \overrightarrow{T(t)}+\tau (t)\cdot \Vert {\alpha }^{\prime }(t)\Vert \cdot \overrightarrow{B(t)}\\ \overrightarrow{B^{\prime }(t)}=-\tau (t)\cdot \Vert {\alpha }^{\prime }(t)\Vert \cdot \overrightarrow{N(t)}\end{array}$

a lo que es deu que, si per eixemple $\overrightarrow{T}(s(t))$ és el camp tangente de qualsevol parametrización, llavors la seua derivada sobre $t$:

$\frac{\overrightarrow{T^{\prime }(s(t))}}{ds}\cdot \frac{ds(t))}{dt}=k(s(t))\cdot \overrightarrow{N(s(t))}\cdot \Vert {\alpha }^{\prime }(t)\Vert$

i aixina successivament per a les atres dos fòrmules de Frenet.

Curvatura i torsió

Per tant, una curva en l'espai està completament definida pels dos paràmetros de curvatura i de torsió. Fonamental en este punt és el seu càlcul explícit tant en la parametrización en abscisses curvilíneas com en qualsevol parametrización.

Curvatura i torsió en la parametrización natural

Siga $\alpha (s)=(\varphi (s),\psi (s),\chi (s))$ la parametrización natural d'una curva tres voltes diferenciable. Llavors, per a cada punt es definix el triedro de Frenet

$\overrightarrow{T(s)}=\frac{{\alpha }^{\prime }(s)}{\Vert {\alpha }^{\prime }(s)\Vert }\overrightarrow{N(s)}=\frac{T^{\prime }(s)}{\Vert T^{\prime }(s)\Vert }=\frac{T^{\prime }(s)}{k(s)}\overrightarrow{B(s)}=\overrightarrow{T(s)}\times \overrightarrow{N(s)}$

La curvatura i la torsió s'obtenen de la forma següent:

$k(s)=\Vert {\alpha }^{″}(s)\Vert =\Vert {\alpha }^{\prime }(s)\times {\alpha }^{″}(s)\Vert$

$\tau (s)=\frac{{\alpha }^{\prime }(s)\cdot {\alpha }^{″}(s)\times {\alpha }^{‴}(s)}{k^2(s)}$

Curvatura i torsió en qualsevol parametrización

Siga $\alpha (t)=(\varphi (t),\psi (t),\chi (t))$ qualsevol parametrización d'una curva tres voltes diferenciable. Llavors, les expressions de la curvatura i de la torsió prenen la forma:

$k(t)=\frac{\Vert {\alpha }^{\prime }(t)\times {\alpha }^{″}(t)\Vert }{\Vert {\alpha }^{\prime }(t){\Vert }^3}$

$\tau (t)=\frac{{\alpha }^{\prime }(t)\times {\alpha }^{″}(t)\cdot {\alpha }^{‴}(t)}{\Vert {\alpha }^{\prime }(t)\times {\alpha }^{″}(t){\Vert }^2}=\frac{\det ({\alpha }^{\prime }(t),{\alpha }^{″}(t),{\alpha }^{‴}(t))}{\Vert {\alpha }^{\prime }(t)\times {\alpha }^{″}(t){\Vert }^2}$

Bibliografia

• Erwin Kreyszig, Differential Geometry, Dover Publications, New York, 1991, ISBN 0-486-66721-9. Chapter II is a classical treatment of Theory of Curves in 3-dimensions.
• Euclid, commentary and trans. by T. L. Heath Elements Vol. 1 (1908 Cambridge) Google Books
• E. H. Lockwood A Book of Curves (1961 Cambridge)

Vore també

• Curva plana
• Tangente (geometria)
• Geometria analítica
• Teorema de la funció implícita
• Funció diferenciable
• Derivada
• Geometria diferencial de curves